Phương pháp giải:

Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abc} \)

Chọn \(k\) chữ số khác nhau từ \(n\) chữ số có \(A_n^k\) cách chọn.

Lời giải chi tiết:

Gọi số cần lập có dạng \(\overline {abc} \)

Các chữ số \(a,\,\,b,\,\,c\) được chọn từ các chữ số \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5\)

\( \Rightarrow \) Có \(A_5^3\) cách chọn.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số cách sắp xếp \(n\) bạn học sinh thành 1 hàng dọc là \(n!\) cách.

Lời giải chi tiết:

Có tất cả số học sinh là \(6 + 4 = 10\) học sinh.

Số cách sắp xếp 10 bạn học sinh trên thành một hàng dọc là: \(10!\) các sắp xếp.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Số cách chọn \(k\) phần tử bất kì trong \(n\) phần tử là: \(C_n^k\) cách chọn.

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn \(2\) học sinh trong \(10\) học sinh là: \(C_{10}^2\) cách chọn.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Gọi số cần lập có dạng \(\overline {ab} \) với \(a,\,\,\,b\) được chọn từ tập \(X.\)

Tìm số cách chọn \(a,\,\,b\) rồi xác định số số tự nhiên lập được.

Lời giải chi tiết:

Gọi số cần lập có dạng \(\overline {ab} \) với \(a,\,\,\,b\) được chọn từ tập \(X.\)

Khi đó ta có cách chọn \(a,\,\,b\) là:\(A_5^2\) cách chọn.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số cách sắp xếp \(n\) học sinh thành 1 hàng ngang là \(n!\) cách.

Lời giải chi tiết:

Số cách sắp xếp 6 học sinh thành 1 hàng ngang là hoán vị của 6 phần tử.

Như vậy có: \(6! = 720\) cách sắp xếp.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thực hiện lần lượt qua các giai đoạn sau:

- Chọn \(7\) nam trong \(21\)  nam và \(5\) nữ trong \(15\)  nữ cho ấp thứ nhất

- Chọn \(7\) nam trong \(14\) nam và \(5\)  nữ trong \(10\)  nữ cho ấp thứ hai

- Chọn \(7\) nam trong \(7\) nam và \(5\) nữ trong \(5\) nữ cho ấp thứ ba.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chọn \(7\) nam trong \(21\) nam và \(5\)  nữ trong \(15\)  nữ cho ấp thứ nhất.

Số cách chọn là \(C_{21}^7.C_{15}^5\) cách.

Bước 2: Chọn \(7\) nam trong \(14\) nam và \(5\) nữ trong \(10\) nữ cho ấp thứ hai

Số cách chọn là \(C_{14}^7.C_{10}^5\) cách.

Bước 3: Chọn \(7\) nam trong \(7\)  nam và \(5\) nữ trong \(5\) nữ cho ấp thứ ba.

Số cách chọn là \(C_7^7.C_5^5 = 1\) cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: \(C_{21}^7.C_{15}^5.C_{14}^7.C_{10}^5\) cách.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp.

Lời giải chi tiết:

Số vectơ cần tìm là: \(A_{10}^2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và \(2\) đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Cứ hai đường thẳng song song trong nhóm này và \(2\) đường thẳng song song trong nhóm kia cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm \(4\) đường thẳng song song có \(C_4^2 = 6\) cách.

Chọn 2 đường thẳng song song trong nhóm \(4\) đường thẳng song song có \(C_5^2 = 10\) cách.

Vậy có tất cả \(6.10 = 60\) hình bình hành được tạo thành.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Với hai điểm bất kì của tứ diện, ta được 2 vectơ (2 vectơ đối nhau).

- Sử dụng chỉnh hợp.

Lời giải chi tiết:

Số vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện \(ABCD\) là \(P_4^2 = 12\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Lấy ra 3 viên bi có đủ 3 màu tức là lấy ra mỗi màu một viên.

- Sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân để tính.

Lời giải chi tiết:

Hộp bi đã cho có 3 màu là xanh, đỏ, vàng nên khi lấy ra 3 viên bi mà có đủ 3 màu thì tức là lấy ra mỗi màu một viên.

Số cách lấy ra 1 bi xanh là \(C_3^1\).

Số cách lấy ra 1 bi đỏ là \(C_4^1\).

Số cách lấy ra 1 bi vàng là \(C_5^1\).

Vậy số cách lấy ra 3 viên bi có đủ cả 3 màu là: \(C_3^1.C_4^1.C_5^1 = 60\) (cách).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng qui tắc đếm cơ bản và kiến thức về tổ hợp

Lời giải chi tiết:

Để tạo thành 1 tam giác ta phải chọn được 1 điểm thuộc đường thẳng này và 2 điểm còn lại thuộc

đường thẳng kia.

TH1: Lấy 1 điểm thuộc \({d_1}\) và 2 điểm thuộc \({d_2}\)

Số cách chọn là: \(C_{10}^1.C_8^2 = 280\)

TH2: Lấy 2 điểm thuộc \({d_1}\) và 1 điểm thuộc \({d_2}\)

Số cách chọn là: \(C_{10}^2.C_8^1 = 360\)

Vậy có tất cả \(280 + 360 = 640\) tam giác được tạo thành.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đếm số cách chọn hai trong 12 cạnh rồi trừ đi số cạnh của đa giác.

Lời giải chi tiết:

Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành 1 đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh của đa giác và đường chéo của đa giác đó).

Từ 12 đỉnh, số đoạn thẳng tạo thành là \(C_{12}^2 = 66\) đoạn thẳng.

Trong 66 đoạn thẳng trên có 12 đoạn thẳng là cạnh của đa giác trên.

Vậy số đường chéo của đa giác đó là \(66 - 12 = 54\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Chọn 6 học sinh trong 40 học sinh mà bạn An bắt buộc phải có mặt

Chọn An: Có 1 cách.

Chọn 5 bạn trong 39 bạn còn lại(trừ An): có \(C_{39}^5\) cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: \(1.C_{39}^5 = 575757\) cách.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Chọn \(a\).

- Ứng với mỗi trường hợp của \(a\), chọn \(b,\,\,c\) thích hợp.

- Áp dụng tổ hợp và quy tắc nhân linh hoạt.

Lời giải chi tiết:

Vì \(a < b < c\). Mà \(b,\,\,c \le 9\) nên a là số lẻ nhỏ hơn 9 nên \(a \in \left\{ {1;3;5;7} \right\}\).

Ta có các trường hợp:

TH1:  \(a = 1 \Rightarrow 1 < b < c \le 9.\)

Chọn 2 trong 8 số còn lại ta được 1 cặp số \(\left( {b;c} \right)\) thỏa mãn \( \Rightarrow C_8^2\) cách.

TH2: \(a = 3 \Rightarrow 3 < b < c \le 9\)

Chọn 2 trong 6 số còn lại ta được 1 cặp số \(\left( {b;c} \right)\) thỏa mãn\( \Rightarrow C_6^2\)cách.

TH3: \(a = 5 \Rightarrow 5 < b < c \le 9\)

Chọn 2 trong 4 số còn lại ta được 1 cặp số \(\left( {b;c} \right)\) thỏa mãn \( \Rightarrow C_4^2\) cách.

TH4: \(a = 7 \Rightarrow b = 8;c = 9\)\( \Rightarrow \) có 1 cách.

Vậy có tất cả \(C_8^2 + C_6^2 + C_4^2 + 1 = 50\) cách hay có 50 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(A_n^3 = 20n\)\(\left( {n \ge 3;\,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 20n\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) - 20n = 0\)

\( \Leftrightarrow {n^3} - 3{n^2} - 18n = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\n = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\n = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(C_n^{n - 2} + 2n = 9\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!.2!}} + 2n - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} + 2n - 9 = 0\) 

\( \Leftrightarrow {n^2} - n + 4n - 18 = 0\)

\( \Leftrightarrow {n^2} + 3n - 18 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 6\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) 

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: \(C_{n + 1}^n = C_{n + 1}^1 = n + 1\)\( \Rightarrow \)  Đúng

Xét đáp án B: \(C_n^n = C_n^0 = 1\)\( \Rightarrow \)  Đúng

Xét đáp án C: \(C_n^1 = n \Rightarrow \) C sai

Xét đáp án D: \(C_n^{n - 1} = C_n^1 = n\)\( \Rightarrow \)  Đúng

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\({P_n} = 2007.{P_{n - 1}}\)\(\left( {n > 1;\,\,n \in N} \right)\)

\( \Leftrightarrow n! = 2007.\left( {n - 1} \right)!\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 2007\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 1} \right)!n}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 2007\)

\( \Leftrightarrow n = 2007\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}};\,\,A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}C_n^3 = A_n^2 - 10 \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = n\left( {n - 1} \right) - 10\\ \Leftrightarrow {n^3} - 3{n^2} + 2n - 6{n^2} + 6n + 60 = 0\\ \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 8n + 60 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\\n = 5\\n = 6\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Gọi số có 5 chữ số khác nhau là: \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \)

+ Chọn \({a_1} \ne 2\): 4 cách (1,3,4,5)

+ Chọn \({a_2}\): 4 cách

+ Chọn \({a_3}\): 3 cách

+ Chọn \({a_4}\): 2 cách

+ Chọn \({a_5}:\)1 cách

\( \Rightarrow \) \(4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn 1 bạn làm mốc

\( \Rightarrow \) Xếp 9 bạn còn lại: 9!

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(C_n^3 + 3A_n^2 = 390\)\(\left( {n \ge 3;\,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{3!(n - 3)!}} + 3\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 390\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{3!}}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 3n\left( {n - 1} \right) = 390\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}\left( {{n^2} - n} \right)\left( {n - 2} \right) + 3{n^2} - 3n - 390 = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}{n^3} - \dfrac{1}{2}{n^2} + \dfrac{1}{3}n + 3{n^2} - 3n - 390 = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}{n^3} + \dfrac{5}{2}{n^2} - \dfrac{8}{3}n - 390 = 0\)

\( \Leftrightarrow n = 10\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(A_x^2 = 110\)\((x \ge 2)\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} = 110\)

\( \Leftrightarrow x(x - 1) = 110\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 110 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 10\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) 

Vậy \(x = 11\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn 3 trong 5 bì thư : \(C_5^3\)

Chọn 3 trong 8 tem : \(C_8^3\)            

Ghép 1 tem với 1 thư: 3! cách

\( \Rightarrow \) \(C_5^3\) \( \times \) \(C_8^3\) \( \times \) 3!

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Gọi dãy nhị phân có độ dài bằng 7 là \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \).

Chọn vị trí cho ba chữ số \(0\) có \(C_7^3 = 35\) cách.

Chọn vị trí cho \(4\) chữ số \(1\) có \(C_4^4 = 1\) cách.

Vậy có tất cả \(35\) dãy nhị phân có độ dài bằng \(7\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết:

Số cách chọn 2 quả cầu xanh là \(C_5^2\) cách.

Số cách chọn 2 quả cầu vàng là \(C_3^2\) cách.

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách chọn được 2 quả cầu cùng màu là \(C_5^2+C_3^2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Chọn \(k\) học sinh từ \(n\) học sinh có \(C_n^k\) cách chọn.

Lời giải chi tiết:

Chọn \(2\) học sinh từ \(5\) học sinh có \(C_5^2\) cách chọn.

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

+Xếp 27 cuốn khác tác giả vào giá sách ta có: 27! Cách xếp

+ Xếp 3 cuốn cùng tác giả cạnh nhau: 3! Cách xếp

+ Ta coi 3 cuốn sách có cùng tác giả là 1 vị trí trên giá sách

\( \Rightarrow \) Có 28 cách di chuyển 3 quyển này trên giá sách

Vậy có tổng cộng: \(3!\, \times \,27!\, \times 28\, = \,3!\, \times 28!\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số tập hợp con gồm \(k\) phần tử của tập hợp gồm \(n\) phần tử là: \(C_n^k\) tập hợp.

Lời giải chi tiết:

Số tập con gồm \(3\) phần tử của tập hợp \(A\) là: \(C_8^3\) tập hợp.

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} .\)

Chọn các số \(a,\,b,\,\,c\) trong các chữ số bài cho để lập số cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} .\)

Ta có: \(a,\,b,\,\,c\) được chọn từ các chữ số \(2,\,\,3,\,\,4,\,\,5,\,\,6\)

\( \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c\) có \(A_5^3 = 60\) cách chọn.

Chọn  A.