Đề số 2 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9

Đề bài

Bài 1: (3 điểm) . Thực hiện các phép tính

a) $2\sqrt {75}  - 3\sqrt {27}  - \dfrac{1}{4}\sqrt {192}$. 

b) $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}$.

c) $\dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }}$. 

d) $\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}} \right).\left( {\sqrt x  - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right)\left( {x > 0;x \ne 4} \right)$.

Bài 2: (2 điểm) Cho hai hàm số bậc nhất $y =  - \dfrac{1}{2}x$ có đồ thị là $\left( {{d_1}} \right)$ và $y = 2x - 5$ có đồ thị là $\left( {{d_2}} \right)$

a) Vẽ $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$ trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Cho đường thẳng $\left( {{d_3}} \right):y = ax + b.$ Tìm $a,b$ để ${d_3}//{d_1}$ và cắt $\left( {{d_2}} \right)$ tại một điểm có tung độ bằng 3.

Bài 3: (1 điểm).Tìm $x$ biết $\sqrt {4x - 20}  = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}}  - 2$.

Bài 4: (0,5 điểm) Năm nay số dân ở một thành phố  A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.

Bài 5: (0,5 điểm) Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ ${30^o}$. Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài $20m$. Hỏi cái cây đó cao bao nhiêu mét ? (làm tròn tới phần thập phân thứ nhất).

Bài 6: (3 điểm) Từ điểm $M$ nằm ở ngoài đường tròn $\left( {O,R} \right)$ với $OM > 2R$, vẽ hai tiếp tuyến $MA,MB\;\;(A,B$là hai tiếp điểm). Gọi $H$là giao điểm của $AB,OM$

a)Nếu cho $OM = R\sqrt 5$. Tính độ dài đoạn $MA$ theo $R$ và số đo $\angle AOM$ (làm tròn tới độ).

b)Chứng minh bốn điểm $M,A,O,B$ thuộc một đường tròn.

c)Gọi $AC$ là đường kính của đường tròn$\left( O \right)$, tia $CH$ cắt đường tròn $\left( O \right)$tại $N$. Chứng minh $4OH.OM = A{C^2}$.

d) Chứng minh rằng đường thẳng $AN$ đi qua trung điểm của $MH$

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}a)\;\;2\sqrt {75}  - 3\sqrt {27}  - \dfrac{1}{4}\sqrt {192}  = 2\sqrt {{5^2}.3}  - 3\sqrt {{3^2}.3}  - \dfrac{1}{4}\sqrt {{8^2}.3} \\\;\; = 2.5\sqrt 3  - 3.3\sqrt 3  - \dfrac{1}{4}.8\sqrt 3  =  - \sqrt 3 .\end{array}$.

Vậy $2\sqrt {75}  - 3\sqrt {27}  - \dfrac{1}{4}\sqrt {192}  =  - \sqrt 3$.

$\begin{array}{l}b)\;\;\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  \\\;\;\;= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2\sqrt 3  + 1}  + \left| {\sqrt 3  - 2} \right|\\\;\;\; = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  + \left| {\sqrt 3  - 2} \right| \\\;\;\;= \sqrt 3  + 1 + 2 - \sqrt 3  = 3.\;\;\;\left( {do\;\;2 > \sqrt 3 } \right)\end{array}$.

Vậy $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}}  = 3$.

$\begin{array}{l}c)\;\dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }} \\= \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 5  - \sqrt 4 } \right)}}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 5  - 2} \right)}}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{{{2^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} \\= \sqrt 3  - \left( {2 + \sqrt 3 } \right) =  - 2.\end{array}$.

Vậy $\dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{1}{{2 - \sqrt 3 }} =  - 2$ .

$\begin{array}{l}d)\;\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}} \right).\left( {\sqrt x  - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right)\;\;\;\;\left( {x > 0;x \ne 4} \right)\\ = \left[ {\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right).\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}} \right].\left( {\sqrt x  - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{x - 4\sqrt x  + 4 - x - 4\sqrt x  - 4}}{{x - 4}}.\dfrac{{x - 4}}{{\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 8\sqrt x }}{{\sqrt x }} =  - 8.\end{array}$.

Vậy $\left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}} \right).\left( {\sqrt x  - \dfrac{4}{{\sqrt x }}} \right) =  - 8$

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

Bài 2: (2 điểm) (VD)

Cho hai hàm số bậc nhất $y =  - \dfrac{1}{2}x$ có đồ thị là $\left( {{d_1}} \right)$ và $y = 2x - 5$ có đồ thị là$\left( {{d_2}} \right)$

a)      Vẽ $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right)$ trên cùng hệ trục tọa độ.

Ta thấy :

+) $A\left( {0;0} \right),B\left( {2; - 1} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y =  - \dfrac{1}{2}x$ .

+) $B\left( {2; - 1} \right),C\left( {3;1} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = 2x - 5$.

Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số:

b)     Cho đường thẳng $\left( {{d_3}} \right):y = ax + b.$ Tìm $a,b$ để ${d_3}//{d_1}$ và cắt $\left( {{d_2}} \right)$ tại một điểm có tung độ bằng 3.

Vì  ${d_3}//{d_1}$ nên ta có: $a = \dfrac{{ - 1}}{2},\;\;b \ne 0 \Rightarrow {d_3}:\;\;y =  - \dfrac{1}{2}x + b.$

Theo đề bài $\left( {{d_3}} \right)$cắt $\left( {{d_2}} \right)$ tại một điểm có tung độ bằng $3 \Rightarrow 3 = 2x - 5 \Rightarrow x = 4$.

Suy ra $\left( {{d_3}} \right)$ đi qua điểm $M\left( {4;3} \right)$$\Rightarrow 4.\dfrac{{ - 1}}{2} + b = 3 \Rightarrow b = 5\;\;\left( {tm} \right).$

Vậy phương trình đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$là: $y =  - \dfrac{1}{2}x + 5$.

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Bài 3:

Tìm $x$ biết $\sqrt {4x - 20}  = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}}  - 2$.

ĐKXĐ: $x \ge 5$

$\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \sqrt {4x - 20}  = 7\sqrt {\dfrac{{x - 5}}{9}}  - 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5}  = 7.\sqrt {\dfrac{1}{9}} .\sqrt {x - 5}  - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{3}\sqrt {x - 5}  - 2\sqrt {x - 5}  = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5}  = 6\\ \Leftrightarrow x - 5 = 36\;\;\;\left( {do\;\;6 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x = 41\;\;\left( {tm} \right).\end{array}$

Vậy $x = 41$ là nghiệm của phương trình.

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

Năm nay số dân ở một thành phố  A có 2 000 000 người. Hỏi 2 năm sau số dân của thành phố A là bao nhiêu người? Biết rằng bình quân mỗi năm số dân của thành phố A này tăng 0,5%.

Cách 1: Áp dụng công thức trên ta có só dân của thành phố sau 2 năm là:

${P_2} = 2000000.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^2} = 2020050$ người

Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.

Cách 2:

Dân số của thành phố A sau 1 năm là: $2000000 + 2000000.0,5\%  = 2010000$ người.

Dân số của thành phố A sau 2 năm là: $2010000 + 2010000.0,5\%  = 2020050$ người.

Vậy sau 2 năm dân số của thành phố là 2020050 người.

LG bài 5

Lời giải chi tiết:

Bài 5:Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ ${30^o}$. Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài $20m$. Hỏi cái cây đó cao bao nhiêu mét ? (làm tròn tới phần thập phân thứ nhất)

Ta có hình vẽ minh họa:

Trong đó đoạn thẳng AB là độ dài của bóng cây, đoạn BC là chiều cao của cây

Xét tam giác ABC vuông tại B có: $\tan \alpha  = \tan {30^o} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{h}{{20}} \Rightarrow h = 20.\tan {30^o} = 11,5\left( m \right)$

Vậy chiều cao của cây là: $h = 11,5m$

LG bài 6

Lời giải chi tiết:

Bài 6:Từ điểm $M$ nằm ở ngoài đường tròn $\left( {O,R} \right)$ với $OM > 2R$, vẽ hai tiếp tuyến $MA,MB\;\;(A,B$là hai tiếp điểm). Gọi $H$là giao điểm của $AB,OM$

a)      Nếu cho $OM = R\sqrt 5$. Tính độ dài đoạn $MA$ theo $R$ và số đo $\angle AOM$ (làm tròn tới độ)

Xét tam giác OAM vuông tại A có:

+)  $A{M^2} + O{A^2} = O{M^2}$

$\Rightarrow AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 R} \right)}^2} - {R^2}}  = 2R$ (định lí Py-ta-go)

+)  $\cos \left( {\angle AOM} \right) = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{R}{{R\sqrt 5 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}$

$\Rightarrow \angle AOM = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) \approx {63^o}$

b)     Chứng minh bốn điểm $M,A,O,B$ thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn $\left( {O,R} \right)$ có: MA,MB là hai tiếp tuyến với A,B là tiếp điểm

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA \bot AM\\OB \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle OAM = {90^o}\\\angle OBM = {90^o}\end{array} \right.$

Xét tứ giác MAOB có: $\angle OAM + \angle OBM = {90^o} + {90^o} = {180^o}$, suy ra tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn, suy ra bốn điểm M,O,A,B cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

c)Gọi $AC$ là đường kính của đường tròn$\left( O \right)$, tia $CH$ cắt đường tròn $\left( O \right)$tại $N$. Chứng minh:$4OH.OM = A{C^2}$.

Có $OA = OB$ (cùng là bán kính), suy ra O thuộc trung trực của AB.

Xét đường tròn $\left( {O,R} \right)$ có: MA,MB là hai tiếp tuyến với A,B là tiếp điểm, suy ra $MA = MB$, suy ra M thuộc trung trực của AB.

Từ hai điều trên ta được OM là trung trực của AB, suy ra OM vuông góc với AB tại H.

+) Xét tam giác vuông OAM vuông tại A có AH là đường cao

$\Rightarrow O{A^2} = OH.OM$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

+) Mà có: $OA = \dfrac{1}{2}AC$ (do OA là bán kính, AC là đường kính)

$\Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{2}AC} \right)^2} = OH.OM \Rightarrow A{C^2} = 4.OH.OM$ (đpcm).

d) Chứng minh rằng đường thẳng $AN$ đi qua trung điểm của $MH$.

Gọi D là giao điểm của AN và OM

Xét tam giác ADM và tam giác CHA có:

+) $\angle ACN = \angle MAD$ ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AN )

+) $\angle AMD = \angle CAH$ (do cùng phụ với $\angle HAM$)

$\Rightarrow \Delta ADM \sim \Delta CHA\;\;\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{DM}}{{HA}} = \dfrac{{AD}}{{HC}} \Rightarrow DM = AD.\dfrac{{HA}}{{HC}}$                                (1)

Có AB vuông góc với OM (cmt) $\Rightarrow \angle AHD = {90^o}$

Có $\angle ANC$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \angle ANC = {90^o}$

Xét hai tam giác vuông HDN và ADH  có chung $\angle NDH$

$\Rightarrow \Delta HDN \sim \Delta ADH\;\left( {g - g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{{HN}}{{AH}} \Rightarrow HD = AD.\dfrac{{HN}}{{AH}}$.                                (2)

Xét tam giác AHC và tam giác NHB có:

+) $\angle AHC = \angle NHB$ (hai góc đối đỉnh)

+) $\angle CAH = \angle HNB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC )

$\Rightarrow \Delta AHC \sim \Delta NHB\;\;\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{{HB}}{{HC}}$

Mà có: $HA = HB$ (do OM là trung trực của AB) $\Rightarrow \dfrac{{HN}}{{HA}} = \dfrac{{HA}}{{HC}}$                        (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra $HD = DM$, suy ra D là trung điểm của HM, suy ra AN đi qua trung điểm của HM(đpcm).

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com

Loigiaihay.com