Đề kiểm tra giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 1 có lời giải chi tiết

Đề bài

PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Câu 1: Lớp có 50 học sinh trong đó có 20 học sinh nữ. Chọn 3 bạn tham gia đội văn nghệ. Số cách chọn sao cho có ít nhất 1 bạn nam là:

A. $C_{30}^2.C_{20}^1$            B. $C_{50}^3 - C_{20}^3$                                        

C. $C_{50}^3 - C_{30}^3$          D. $C_{50}^3.C_{30}^3$

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin 2x - 2$ bằng:

A. $4$                                    B. $1$                               

C. $5$                                    D. $- 5$

Câu 3: Trong mặt phẳng, biết ${V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M'$. Chọn kết luận đúng.

A. $\overrightarrow {OM}  = k\overrightarrow {OM'}$        B. $\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM}$

C. $\overrightarrow {OM'}  =  - k\overrightarrow {OM}$     D. $\overrightarrow {OM'}  = \left| k \right|\overrightarrow {OM}$

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình $\cos x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ là:

A. $x =  \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$    

B. $x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$                         

C. $x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$ 

D. $x =  \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ, cho $M\left( { - 1;2} \right)$, $k =  - \dfrac{1}{2}$, ${V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M'$, $O$ là gốc tọa độ. Khi đó $M'$ có tọa độ là:

A. $M'\left( { - \dfrac{1}{2};1} \right)$                           B. $M'\left( {1; - \dfrac{1}{2}} \right)$    C. $M'\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$                                D. $M'\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)$

Câu 6: Tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)$ là:

A. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$   

B. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

C. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$             

D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 7: Nghiệm của phương trình ${\cos ^2}x - \cos x = 0$ thỏa mãn điều kiện $- \pi  < x < 0$ là:

A. $x = \dfrac{\pi }{6}$         B. $x = \dfrac{\pi }{4}$    

C. $x =  - \dfrac{\pi }{2}$      D. $x = \dfrac{\pi }{2}$

Câu 8: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt 3 \sin x + \cos x = 0$ là:

A. $x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$     B. $x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$   

C. $x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$     D. $x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$

Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AC \cap BD = M$ và $AB \cap CD = N$. Giao tuyến của mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng

A. $SM$       B. $SA$      C. $MN$      D. $SN$

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ, cho $M\left( {1; - 2} \right)$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v \left( { - 3; - 3} \right)$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$. Tọa độ điểm $M'$ là:

A. $M'\left( {2; - 5} \right)$           B. $M'\left( {4; - 1} \right)$                               

C. $M'\left( {2;5} \right)$             D. $M'\left( { - 2; - 5} \right)$

Câu 11: Trên giá sách có 7 quyển sách Toán khác nhau, 5 quyển Vật lí khác nhau, 8 quyển sách Hóa học khác nhau. Số cách chọn 1 quyển sách để đọc là:

A. $15$           B. $13$           C. $20$           D. $280$

Câu 12: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 5, 6. Lập các số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau từ 5 chữ số đã cho. Tổng tất cả các số lập được bằng:

A. $22644$     B. $24642$     C. $26442$     D. $44622$

II. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau:

a) $2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) - \sqrt 3  = 0$                                                  

b) $\sin x - \sqrt 3 \cos x =  - \sqrt 2$

Câu 2 (2,0 điểm):

a) Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$. Từ A có thể lập đươc bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

b) Lớp 11A có 15 học sinh nữ, 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh tham gia văn nghệ trong đó có ít nhất 3 học sinh nữ?

Câu 3 (3 điểm):

1. Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho vectơ $\overrightarrow v \left( {2; - 1} \right)$ và đường thẳng $x + y - 3 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow v$.

2. Cho tứ diện $ABCD$, gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $M$ là trung điểm của $CD$, $I$ là điểm trên đoạn thẳng $AG$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ABG} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

b) Xác định giao điểm $J$ của $BI$ với mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$. Tính tỉ số giữa $AI$ và $AG$ để diện tích tam giác $ACD$ bằng 2 lần diện tích tam giác $JCD$.

 

Lời giải chi tiết

PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng phần bù.

Cách giải:

Số cách chọn 3 bạn bất kì là: $C_{50}^3$ cách.

Số cách chọn 3 bạn nữ là; $C_{20}^3$ cách.

Vậy số cách chọn 3 bạn trong đó có ít nhất 1 bạn nam là: $C_{50}^3 - C_{20}^3$ cách.

Chọn B.

Câu 2:

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: $- 1 \le \sin \alpha  \le 1\,\,\forall \alpha$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - 1 \le \sin 2x \le 1\\ \Leftrightarrow  - 3 \le 3\sin 2x \le 3\\ \Leftrightarrow  - 5 \le 3\sin 2x - 2 \le 1\\ \Leftrightarrow  - 5 \le y \le 1\end{array}$

Vậy GTNN của hàm số bằng $- 5$.

Chọn D.

Câu 3:

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa phép vị tự: ${V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} .$

Cách giải:

Ta có: ${V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} .$

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Cách giải:

Ta có: $\cos x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \dfrac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Chọn A.

Câu 5:

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa phép vị tự: ${V_{\left( {O;k} \right)}}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} .$

Cách giải:

Gọi $M'\left( {x';y'} \right) = {V_{\left( {O; - \dfrac{1}{2}} \right)}}\left( M \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {OM'}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OM} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - {x_O} =  - \dfrac{1}{2}\left( {{x_M} - {x_O}} \right)\\y' - {y_O} =  - \dfrac{1}{2}\left( {{y_M} - {y_O}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - \dfrac{1}{2}.\left( { - 1} \right)\\y' =  - \dfrac{1}{2}.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = \dfrac{1}{2}\\y' =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $M'\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$.

Chọn C.

Câu 6:

Phương pháp:

Hàm số $y = \tan \alpha$ xác định $\Leftrightarrow \alpha  \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi$.

Cách giải:

Hàm số $y = \tan \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)$ xác định $\Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi$.

Vậy TXĐ của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Chọn C.

Câu 7:

Phương pháp:

- Đưa phương trình về dạng phương trình tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản.

- Giải bất phương trình $- \pi  < x < 0$, tìm nghiệm $x$ thỏa mãn.

Cách giải:

Ta có: ${\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

+ Xét họ nghiệm $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$.

Cho $- \pi  < x < 0 \Leftrightarrow  - \pi  < \dfrac{\pi }{2} + k\pi  < 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{2} < k <  - \dfrac{1}{2}$.

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k =  - 1 \Rightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2}$.

+ Xét họ nghiệm $x = \pi  + k2\pi$.

Cho $- \pi  < \pi  + k2\pi  < 0 \Leftrightarrow  - 1 < k <  - \dfrac{1}{2}$.

Mà $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \emptyset$.

Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm thỏa mãn là $x =  - \dfrac{\pi }{2}$.

Chọn C.

Câu 8:

Phương pháp:

- Chuyến vế, đưa về phương trình hàm tan.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt 3 \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x =  - \cos x\\ \Leftrightarrow \tan x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in } \right)\end{array}$.

Chọn A.

Câu 9:

Phương pháp:

Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng, từ đó xác định giao tuyến.

Cách giải:

 

Xét $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ có:

+ $S$ là điểm chung thứ nhất.

+ Trong $\left( {ABCD} \right)$ ta có $M = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\M \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow M \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$.

Vậy $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SM$.

Chọn A.

Câu 10:

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến: ${T_{\overrightarrow u }}\left( M \right) = M' \Rightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$.

Cách giải:

Ta có: ${T_{\overrightarrow u }}\left( M \right) = M' \Rightarrow \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$

 $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 1 + \left( { - 3} \right) =  - 2\\{y_{M'}} =  - 2 + \left( { - 3} \right) =  - 5\end{array} \right.$.

Vậy $M'\left( { - 2; - 5} \right)$.

Chọn D.

Câu 11:

Phương pháp:

- Tính số cách chọn 1 quyển sách Toán, 1 quyển sách Vật lí, 1 quyển sách Hóa.

- Sử dụng quy tắc cộng.

Cách giải:

Số cách chọn 1 quyển sách Toán là 7 cách.

Số cách chọn 1 quyển sách Vật lí là 5 cách.

Số cách chọn 1 quyển sách Hóa là 8 cách.

Áp dụng quy tắc cộng: Số cách chọn 1 quyển sách bất kì là: $7 + 5 + 8 = 20$ cách.

Chọn C.

Câu 12:

Phương pháp:

- Sử dụng chỉnh hợp tính số cách chọn số có 3 chữ số đôi một khác nhau.

- Gọi số tự nhiên có 3 chữ số lập được là $\overline {abc}$.

- Số lần xuất hiện của mỗi số 1, 2, 3, 5, 6 ở mỗi vị trí  $a,\,\,b,\,\,c$ bằng số cách chọn $\overline {bc}$ là $A_4^2 = 12$ lần.

$\overline {abc} =a.10^2+b.10^1+c$

Cách giải:

Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 5, 6 ta lập được $A_5^3 = 60$ số có 3 chữ số đôi một khác nhau.

Tổng các chữ số 1, 2, 3, 5, 6 là: $1 + 2 + 3 + 5 + 6 = 17$.

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số lập được là $\overline {abc}$.

- Trong 60 số lập được ở trên, số lần xuất hiện của mỗi số 1, 2, 3, 5, 6 ở mỗi vị trí  $a,\,\,b,\,\,c$ là $A_4^2 = 12$ lần.

 

  Chẳng hạn, số lần xuất hiện số 1 ở vị trí $a$ bằng số cách chọn $\overline {bc}$ từ 4 số $2,3,5,6$ và bằng $A_4^2 = 12$ lần, tương tự  số 1 xuất hiện ở vị trí $b$ $A_4^2 = 12$ lần, ở vị trí $c$ là $A_4^2 = 12$ lần. 

Vậy tổng của 60 số lập được là: $12.(1+2+3+5+6).\left( {{{10}^2} + {{10}^1} + {{10}^0}} \right) = 22644$.

Chọn A.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 1:

Phương pháp:

a) Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.$.

b) Giải phương trình dạng $a\sin x + b\cos x = c$, chia cả 2 vế cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

Cách giải:

a) $2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) - \sqrt 3  = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi$.

b) $\sin x - \sqrt 3 \cos x =  - \sqrt 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} - \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{3} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \dfrac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{19\pi }}{{12}} + k2\pi$.

Câu 2:

Phương pháp:

a) Sử dụng chỉnh hợp.

b) Chia các trường hợp:

    TH1: 3 học sinh nữ, 2 học sinh nam.

    TH2: 4 học sinh nữ, 1 học sinh nam.

    TH3: 5 học sinh nữ.

Cách giải:

a) Từ tập hợp A lập được $A_7^4 = 840$ số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

b) Để chọn được 5 học sinh tham gia văn nghệ trong đó có ít nhất 3 học sinh nữ ta có các TH sau:

TH1: 3 học sinh nữ, 2 học sinh nam $\Rightarrow$ Có $C_{15}^3.C_{20}^2 = 86450$.

TH2: 4 học sinh nữ, 1 học sinh nam $\Rightarrow$ Có $C_{15}^4.C_{20}^1 = 27300$.

TH3: 5 học sinh nữ $\Rightarrow$ Có $C_{15}^5 = 3003$.

Vậy có tất cả $86450 + 27300 + 3003 = 116753$ cách.

Câu 3:

Phương pháp:

1. ${T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) = d' \Rightarrow d'//d$, từ đó gọi phương trình đường thẳng $d'$ có dạng theo phương trình đường thẳng $d$.

Lấy điểm $A \in d$ bất kì. Tìm $A' = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right)$.

Thay tọa độ điểm $A'$ vào phương trình đường thẳng $d'$.

2. a) Xác định 2 điểm chung của hai mặt phẳng, từ đó xác định giao tuyến.

b) Xác định $J$ là giao điểm của $BI$ và một đường thẳng nằm trong $\left( {ACD} \right)$.

Sử dụng định lí Menelaus để tính tỉ số.

Cách giải:

 

1. Vì ${T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) = d' \Rightarrow d'//d$, do đó phương trình đường thẳng $d'$ có dạng: $d':\,\,x + y + c = 0\,\,\left( {c \ne  - 3} \right)$.

Lấy $A\left( {3;0} \right) \in d$. Gọi $A' = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right)$, khi đó ta có $A'\left( {5; - 1} \right)$.

Vì ${T_{\overrightarrow v }}\left( d \right) = d',\,\,A' = {T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) \Rightarrow A' \in d'$.

Suy ra $5 + \left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c + 4 = 0 \Leftrightarrow c =  - 4\,\,\left( {TM} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $d'$ là: $x + y - 4 = 0$.

2. a) Xét $\left( {ABG} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$ có:

+ $A$ là điểm chung thứ nhất.

+ Trong $\left( {BCD} \right)$ ta có: $M = BG \cap CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in BG \subset \left( {ABG} \right)\\M \in CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow M \in \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right)$.

Vậy $\left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AM$.

b) Trong $\left( {ABM} \right)$ gọi $J = BI \cap AM$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}J \in BI\\J \in AM \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow J \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow J = BI \cap \left( {ACD} \right)$.

Ta có: $\dfrac{{{S_{JCD}}}}{{{S_{ACD}}}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{JM}}{{AM}} \Rightarrow \dfrac{{JM}}{{JA}} = 1$.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác $AGM$ ta có:

$\dfrac{{BG}}{{BM}}.\dfrac{{JM}}{{JA}}.\dfrac{{IA}}{{IG}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.1.\dfrac{{IA}}{{IG}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{IA}}{{IG}} = 3$  $\Rightarrow \dfrac{{AI}}{{AG}} = \dfrac{3}{4}$.

Vậy để ${S_{ACD}} = 2{S_{JCD}}$ thì $\dfrac{{AI}}{{AG}} = \dfrac{3}{4}$.

Loigiaihay.com