Đề khảo sát chất lượng đầu năm Toán 10 Cánh diều - Đề số 4Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... Đề bài
Câu 1 :
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = - 8\\4x + 3y = - 1\end{array} \right.\):
Câu 2 :
Cho đoạn thẳng \(AB = 10cm\), \(M\) là trung điểm của \(AB\). Quỹ tích các điểm \(C\) trong mặt phẳng thỏa mãn tam giác \(ABC\) có \(C{A^2} + C{B^2} = 100\) là:
Câu 3 :
Cho đường thẳng $d:y = x - 1$. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đã cho là:
Câu 4 :
Đường thẳng nào sau đây đi qua điểm \(N\left( {1;1} \right)\)?
Câu 5 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) có các hệ số khác 0 và \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\). Chọn câu đúng.
Câu 6 :
Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ $2$ địa điểm cách nhau $210{\rm{ }}km,$ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $3h.$ Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu $A$ tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và B giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B.$
Câu 7 :
Cho $2$ đường thẳng $d:y = 2x - 1;d':y = (m - 3)x + 2$. Tìm $m$ để $d$ cắt $d'$ mà hoành độ và tung độ giao điểm cùng dấu.
Câu 8 :
Thu gọn biểu thức \(\sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}} - \sqrt[3]{{125{x^3} + 75{x^2} + 15x + 1}}\) ta được:
Câu 9 :
Chọn câu sai.
Câu 10 :
Cho các hình vuông $ABCD$ có cạnh $AB$ cố định. Tìm quỹ tích giao điểm $O$ của hai đường chéo của các hình vuông đó.
Câu 11 :
Số nghiệm của hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + 4\left| y \right| = 18\\3\left| x \right| + \left| y \right| = 10\end{array} \right.\) là:
Câu 12 :
Cho \(A = 3\sqrt[3]{2}\) và \(B = \sqrt[3]{{42}}\). Chọn khẳng định đúng.
Câu 13 :
Cho bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn \(\left( O \right).\) Biết \(\widehat {BOD} = {130^0}\) thì số đo \(\widehat {BAD}\) là:
Câu 14 :
Trên một cánh đồng cấy $50$ ha lúa giống mới và $30$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $410$ tấn thóc. Hỏi năng suất lúa cũ trên $1$ ha là bao nhiêu, biết rằng $5$ ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn $6$ ha trồng lúa cũ là $0,5$ tấn.
Câu 15 :
Phương trình \(\sqrt {x - 5} = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}\) có bao nhiêu nghiệm?
Câu 16 :
Tìm hệ số góc của đường thẳng \(d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1\) biết nó vuông góc với đường thẳng \(d':y - 2x = 0\).
Câu 17 :
Cho \(\tan a = 3.\) Khi đó \(\cot a\) bằng
Câu 18 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $6x + 3\sqrt 3 y$
Câu 19 :
Kết quả của phép tính \(\left( {\sqrt {28} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + \sqrt {84} \) là
Câu 20 :
Cho parabol\((P):y = 5{x^2}\) và đường thẳng \((d):y = - 4x - 4\). Số giao điểm của đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) là:
Câu 21 :
Tính giá trị của \(x\) trên hình vẽ 
Câu 22 :
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {130^0}.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A\), kẻ \(Bx \bot BA;Cy \bot CA\), \(Bx\) và \(Cy\) cắt nhau tại D. Chọn đáp án sai.
Câu 23 :
Cho \(B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\) và \(C = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} } \right):\sqrt 3 \). Chọn đáp án đúng.
Câu 24 :
Phương trình \(\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} - \dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} + 1} \right) = \dfrac{2}{3x}\) có nghiệm là:
Câu 25 :
Đồ thị hàm số $y = (3 - m)x + m + 3$ đi qua gốc tọa độ khi:
Câu 26 :
Tính thể tích của một hình nón cụt có các bán kính đáy bằng \(4 cm\) và \(7cm\), chiều cao bằng \(11 cm.\)
Câu 27 :
Tìm điều kiện của $x$ để căn thức \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa.
Câu 28 :
Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai \(2\) giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau \(7,5\) giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau \(20\) giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?
Câu 29 :
Tập nghiệm của phương trình \(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) là:
Câu 30 :
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(5\,cm\) và diện tích xung quanh bằng \(300\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) . Chiều cao của hình trụ là
Câu 31 :
Cho hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) . Nếu ta tăng chiều cao lên hai lần và giảm bán kính đáy đi hai lần thì
Câu 32 :
Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách B là 72 km, thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4km/h.
Câu 33 :
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\).
Câu 34 :
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Gọi $P,\,Q,R$ lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong góc \(A,\,B,\,C\) với đường tròn. Giả sử rằng \(S = AP \cap RQ.\) Khi đó:
Câu 35 :
Tính độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp \(\left( {O;R} \right)\) theo \(R.\)
Câu 36 :
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx + 1\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là các giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm \(m\) để biểu thức \(M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Câu 37 :
Cho mặt cầu có thể tích \(V = 288\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\) . Tính đường kính mặt cầu.
Câu 38 :
Cho hình vẽ, tìm \(x.\) 
Câu 39 :
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là
Câu 40 :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có $AB = 5cm,AC = 12cm$ và đường cao $AH = 3cm$ ($H$ nằm ngoài $BC$) , khi đó $R$ bằng
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = - 8\\4x + 3y = - 1\end{array} \right.\):
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số Với phương pháp cộng đại số: + Nhân hai vế của phương trình trên với \(4\) và nhân hai vế của phương trình dưới với \(3\) rồi trừ vế với vế của hai phương trình thu được. + Giải phương trình mới ta tìm được \(y\), thay vào phương trình còn lại ta tìm được \(x.\) Lời giải chi tiết :
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = - 8\\4x + 3y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x - 20y = - 32\\12x + 9y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x - 20y - \left( {12x + 9y} \right) = - 32 - \left( { - 3} \right)\\12x + 9y = - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 29y = - 29\\12x + 9y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\12x + 9.1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\12x = - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 1\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;1} \right)\)
Câu 2 :
Cho đoạn thẳng \(AB = 10cm\), \(M\) là trung điểm của \(AB\). Quỹ tích các điểm \(C\) trong mặt phẳng thỏa mãn tam giác \(ABC\) có \(C{A^2} + C{B^2} = 100\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng: “Quỹ tích các điểm \(M\) nhìn đoạn thẳng \(AB\) cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính \(AB\). » Lời giải chi tiết :
Vì \(C{A^2} + C{B^2} = 100 = A{B^2}\) nên \(\Delta ABC\) là tam giác vuông tại \(C\) hay điểm \(C\) luôn nhìn đoạn \(AB\) một góc \({90^0}\). Do đó quỹ tích các điểm \(C\) là đường tròn đường kính \(AB = 10cm\) hay đường tròn tâm \(M\) bán kính \(5cm\).
Câu 3 :
Cho đường thẳng $d:y = x - 1$. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đã cho là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Tìm giao điểm của đường thẳng với trục hoành, trục tung - Dựng hình chiếu của tam giác được tạo thành - Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông để tính khoảng cách từ điểm $O$ đến $1$ đường thẳng. Lời giải chi tiết :
 Ta có: $d \cap Ox$ tại $A(1;0) \Rightarrow OA = 1$ $d \cap Oy $ tại $ B(0; - 1) \Rightarrow OB = 1$ Ta có $OA \bot OB$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng $AB$. Áp dụng hệ thức trong tam giác ta có: $\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2\\ \Rightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$
Câu 4 :
Đường thẳng nào sau đây đi qua điểm \(N\left( {1;1} \right)\)?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Lần lượt thay tọa độ điểm \(N\) vào các phương trình đường thẳng. Phương trình nào được thỏa mãn thì đường thẳng đó đi qua \(N\). Lời giải chi tiết :
+) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(2x + y - 3 = 0\) ta được \(2.1 + 1 - 3 = 0\) nên điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(2x + y - 3 = 0\) +) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(y - 3 = 0\) ta được \(1 - 3 = - 2 \ne 0\) +) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(4x + 2y = 0\) ta được \(4.1 + 2.1 = 6 \ne 0\) +) Thay \(x = 1;y = 1\) vào \(5x + 3y - 1 = 0\) ta được \(5.1 + 3.1 - 1 = 7 \ne 0\) Vậy đường thẳng \(d:2x + y - 3 = 0\) đi qua \(N\left( {1;1} \right)\).
Câu 5 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) có các hệ số khác 0 và \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\). Chọn câu đúng.
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\) (các hệ số \(a';b';c'\)khác 0) Hệ phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}\)
Câu 6 :
Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ $2$ địa điểm cách nhau $210{\rm{ }}km,$ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $3h.$ Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu $A$ tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và B giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B.$
Đáp án : C Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… Bước 3: Kết luận Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc của $A$ và $B$ lần lượt là $x,{\rm{ }}y{\rm{ }}\left( {km/h;{\rm{ }}x,{\rm{ }}y > 0} \right)$ Hai người đi ngược chiều và gặp nhau sau $3h$ nên ta có phương trình : $3x + 3y = 210\,\,(1)$ Nếu A tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và $B$ giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B$ nên ta có phương trình: $x + 5 = y - 5\,\,\,\,(2)$ Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 210\\x + 5 = y - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 70\\x - y = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 60\\x + y = 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 40\end{array} \right.(tmdk)$ Vậy vận tốc của A và B lần lượt là $30km/h$ và $40km/h.$
Câu 7 :
Cho $2$ đường thẳng $d:y = 2x - 1;d':y = (m - 3)x + 2$. Tìm $m$ để $d$ cắt $d'$ mà hoành độ và tung độ giao điểm cùng dấu.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Tìm tọa độ giao điểm 2 đường thẳng cho trước - Hoành độ và tung độ giao điểm cùng dấu $ \Leftrightarrow xy > 0$. Lời giải chi tiết :
Ta có $d \cap d' \Leftrightarrow m - 3 \ne 2 \Leftrightarrow m \ne 5$. Xét phương trình hoành độ của $d'$ và $d''$ : $\begin{array}{l}2x - 1 = (m - 3)x + 2 \Leftrightarrow (m - 5)x = - 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 3}}{{m - 5}}\\ \Rightarrow y = \dfrac{{ - 6}}{{m - 5}} - 1 = \dfrac{{ - m - 1}}{{m - 5}}\end{array}$ Theo đề bài: $x.y > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{m - 5}}.\dfrac{{ - m - 1}}{{m - 5}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3(m + 1)}}{{{{(m - 5)}^2}}} > 0$ Mà ${(m - 5)^2} > 0,\forall m \ne 5$ Suy ra $m > - 1$ Kết hợp điều kiện ta có: $\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m \ne 5\end{array} \right.$.
Câu 8 :
Thu gọn biểu thức \(\sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}} - \sqrt[3]{{125{x^3} + 75{x^2} + 15x + 1}}\) ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\) - Áp dụng \(\sqrt[3]{{{a^3}}} = a\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}} - \sqrt[3]{{125{x^3} + 75{x^2} + 15x + 1}}\)\( = \sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {5x + 1} \right)}^3}}}\) \( = x - 1 - 5x - 1 = - 4x-2.\)
Câu 9 :
Chọn câu sai.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng các công thức liên quan đến hình nón và hình cầu Lời giải chi tiết :
Ta có + Thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\) nên A đúng + Diện tích hình cầu có bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\) nên C đúng + Đường sinh của hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \) nên D đúng + Thể tích khối cầu có bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\) nên B sai.
Câu 10 :
Cho các hình vuông $ABCD$ có cạnh $AB$ cố định. Tìm quỹ tích giao điểm $O$ của hai đường chéo của các hình vuông đó.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp cung chứa góc. Hai điểm $B,C$ cố định. Quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn \(\widehat {BMC} = \alpha \) không đổi là $2$ cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên $BC$ . Lời giải chi tiết :
 Xét hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra \(AO \bot BO \Rightarrow \) \(\widehat {AOB} = {90^\circ }\) Ta có \(\widehat {AOB} = {90^0}\) không đổi mà $A,B$ cố định \( \Rightarrow \) Quỹ tích điểm $O$ là nửa đường tròn đường kính $AB$ trừ hai điểm $A$ và $B.$
Câu 11 :
Số nghiệm của hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + 4\left| y \right| = 18\\3\left| x \right| + \left| y \right| = 10\end{array} \right.\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Đặt: \(\left| x \right| = a \ge 0;\,\,\,\left| y \right| = b \ge 0\). + Giải hệ phương trình ẩn \(a;b\) bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. + Thay trở lại cách đặt ta tìm được \(x;y.\) Lời giải chi tiết :
Đặt: \(\left| x \right| = a \ge 0;\,\,\left| y \right| = b \ge 0\). Khi đó, ta có hệ phương trình: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 4b = 18\\3a + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\3\left( {18 - 4b} \right) + b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 18 - 4b\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\). \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = 2\\\left| y \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 2\\y = \pm 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Câu 12 :
Cho \(A = 3\sqrt[3]{2}\) và \(B = \sqrt[3]{{42}}\). Chọn khẳng định đúng.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức \(\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{ab}}\). - So sánh hai căn bậc hai theo \(a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(A = 3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{27}}.\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{54}}\). Vì \(54 > 42 \) nên \( \sqrt[3]{{54}} > \sqrt[3]{{42}} \Rightarrow 3\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{{42}}\) hay \(A > B\).
Câu 13 :
Cho bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn \(\left( O \right).\) Biết \(\widehat {BOD} = {130^0}\) thì số đo \(\widehat {BAD}\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn, số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn. Lời giải chi tiết :
 Ta có: \(\widehat {BOD} = {130^0} \) nên \(sđ\,\overparen{BD} = {130^0}\). Do đó \(\widehat {BAD} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{BD} = {65^0}\) (góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn)
Câu 14 :
Trên một cánh đồng cấy $50$ ha lúa giống mới và $30$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $410$ tấn thóc. Hỏi năng suất lúa cũ trên $1$ ha là bao nhiêu, biết rằng $5$ ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn $6$ ha trồng lúa cũ là $0,5$ tấn.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên $1$ ha lần lượt là $x;y\,\,\left( {x,y > 0} \right),$ đơn vị: tấn/ha Lập hệ phương trình theo x, y và giải hệ đó. Lời giải chi tiết :
Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên $1$ ha lần lượt là $x;y\,\,\left( {x,y > 0} \right),$ đơn vị: tấn/ha Vì cấy $50$ ha lúa giống mới và $30$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $410$ tấn thóc nên ta có $50x + 30y = 410$ Vì $5$ ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn $6$ ha trồng lúa cũ là $0,5$ tấn nên ta có phương trình $5x - 6y = 0,5$ Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5x - 6y = 0,5\\50x + 30y = 410\end{array} \right. $ Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{10}\), ta được: $\left\{ \begin{array}{l}5x - 6y = 0,5\\5x + 3y = 41\end{array} \right.$ Trừ hai vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất, ta được: $9y = 40,5$ suy ra $y = 4,5(tm)$ Thay vào $5x - 6y = 0,5$ ta tính được $x = 5,5(tm)$ Vậy năng suất lúa cũ trên $1$ ha là $4,5$ tấn.
Câu 15 :
Phương trình \(\sqrt {x - 5} = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải phương trình dạng \(\sqrt A = \sqrt B \) ĐK: \(A \ge 0\) (hoặc \(B \ge 0\) ) Khi đó \(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow A = B\) So sánh với điều kiện rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x \ge 5\) Ta có \(\sqrt {x - 5} = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}\)\( \Leftrightarrow x - 5 = 3 - x \Leftrightarrow x + x = 3 + 5 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {KTM} \right)\) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 16 :
Tìm hệ số góc của đường thẳng \(d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1\) biết nó vuông góc với đường thẳng \(d':y - 2x = 0\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Sử dụng điều kiện vuông góc của hai đường thẳng để tìm \(m\). + Sau đó sử dụng lý thuyết về hệ số góc để tìm hệ số góc của đường thẳng \(d'\) Đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(a\) là hệ số góc. Lời giải chi tiết :
Ta có \(d':y - 2x = 0\)\( \Leftrightarrow y = 2x\) Đường thẳng \(d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1\) có hệ số góc \(2m + 5\) Vì \(d \bot d' \Rightarrow \left( {2m + 5} \right).2 = - 1 \Leftrightarrow 2m + 5 = - \dfrac{1}{2}\) Suy ra đường thẳng \(d:y = \left( {2m + 5} \right)x + 1\) có hệ số góc \(k = - \dfrac{1}{2}\)
Câu 17 :
Cho \(\tan a = 3.\) Khi đó \(\cot a\) bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng \(\tan a.\cot a = 1\) để tìm \(\cot a.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\tan a.\cot a = 1\) nên \(\cot a = \dfrac{1}{{\tan a}} = \dfrac{1}{3}.\)
Câu 18 :
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right.\). Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $6x + 3\sqrt 3 y$
Đáp án : C Phương pháp giải :
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Lời giải chi tiết :
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(\sqrt 2 \) rồi cộng từng vế của hai phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 \\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt 6 + y\sqrt 2 = 4\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x\sqrt 6 = 6\\x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\\dfrac{1}{{\sqrt 6 }}.\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\1 - y\sqrt 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\\y\sqrt 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}; - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) $ \Rightarrow 6x + 3\sqrt 3 y = 6.\dfrac{{\sqrt 6 }}{6} + 3\sqrt 3 .\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 6 - \dfrac{3}{2}\sqrt 6 = - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.$
Câu 19 :
Kết quả của phép tính \(\left( {\sqrt {28} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + \sqrt {84} \) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức + Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}\,(A \ge 0,B \ge 0)\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left( {\sqrt {28} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + \sqrt {84} \)\( = \left( {\sqrt {4.7} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7 + \sqrt {4.21} \) \( = \left( {2\sqrt 7 - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7 + 2\sqrt {21} = \left( {3\sqrt 7 - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \) \( = 3\sqrt 7 .\sqrt 7 - 2\sqrt 3 .\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \) \( = 21 - 2\sqrt {21} + 2\sqrt {21} = 21\)
Câu 20 :
Cho parabol\((P):y = 5{x^2}\) và đường thẳng \((d):y = - 4x - 4\). Số giao điểm của đường thẳng \(d\) và parabol \(\left( P \right)\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Cho parabol \((P):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}(a \ne 0)\) và đường thẳng \(d:y = mx + n\). Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của \((d)\) và \((P)\), ta làm như sau: Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\): \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} = mx + n\) Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó suy ra số giao điểm của parabol và đường thẳng Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \((d):\) \(5{x^2} = - 4x - 4 \\ 5{x^2} + 4x + 4 = 0 \\{x^2} + 4{x^2} + 4x + 4 = 0 \\ {x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\) Xét \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\forall x\) và dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\) (vô lý) nên \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} > 0;\forall x\) Hay phương trình (*) vô nghiệm. Vậy không có giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \(\left( P \right)\).
Câu 21 :
Tính giá trị của \(x\) trên hình vẽ
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền” Lời giải chi tiết :
Xét tam giác \(MNP\) vuông tại \(M,\) có \(MK \bot NP\) ta có \(M{K^2} = NK.PK\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Hay \({x^2} = 6.9 \Leftrightarrow {x^2} = 54 \Rightarrow x = 3\sqrt 6 \,.\)
Câu 22 :
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {130^0}.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) không chứa đỉnh \(A\), kẻ \(Bx \bot BA;Cy \bot CA\), \(Bx\) và \(Cy\) cắt nhau tại D. Chọn đáp án sai.
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn. - Sử dụng tính chất tam giác cân, dấu hiệu nhận biết tam giác cân. - Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối bằng \(180^\circ\). - Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi. Lời giải chi tiết :
 Theo đề bài ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \) suy ra tam giác ABD và tam giác ACD vuông và cùng nội tiếp đường tròn đường kính AD, do đó tứ giác \(ABDC\) là tứ giác nội tiếp (vì 4 đỉnh A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính AD) nên đáp án B đúng. + Lại có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = 130^\circ\) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ - 130^\circ }}{2} = 25^\circ \) + Ta có \(\widehat {DBC} + \widehat {ABC} = 90^\circ\) suy ra \(\widehat {DBC} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \) Và \(\widehat {BCD} + \widehat {ACB} = 90^\circ\) suy ra \(\widehat {BCD} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \) Từ đó suy ra tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) nên đáp án A đúng. + Xét tứ giác \(ABDC\) nội tiếp nên \(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \) suy ra \( \widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \) nên D đúng. Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác \(ABDC\) là hình thoi nên C sai.
Câu 23 :
Cho \(B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\) và \(C = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} } \right):\sqrt 3 \). Chọn đáp án đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Tính \(B;C\) bằng cách sử dụng các công thức Với \(A > 0\) và \(A \ne {B^2}\) thì \(\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C(\sqrt A \mp B)}}{{A - {B^2}}}\) Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\) + So sánh \(B;C.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\) \( = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}\) $ \( = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\) \( = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 - \sqrt 3 - 1\) \( = 2\sqrt 2 - 1\) Lại có $\begin{array}{l}C = (2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} ):\sqrt 3 \\ = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {9.3} + 4\sqrt {4.3} } \right):\sqrt 3 \\= (2\sqrt 3 - 5.3\sqrt 3 + 4.2\sqrt 3 ):\sqrt 3 \\ = - 5\sqrt 3 :\sqrt 3 \\ = - 5\end{array}$ Nhận thấy \(B = 2\sqrt 2 - 1 > 0;\,C = - 5 < 0 \Rightarrow B > C\)
Câu 24 :
Phương trình \(\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} - \dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} + 1} \right) = \dfrac{2}{3x}\) có nghiệm là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu số Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x \ne 2;x \ne - 2;x \ne 0\) Ta có \(\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} - \dfrac{{2 - x}}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}} + 1} \right) = \dfrac{2}{{3x}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {2 + x} \right)}^2} - {{\left( {2 - x} \right)}^2}}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}:\dfrac{{2 + x + 2 - x}}{{2 - x}} = \dfrac{2}{{3x}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}.\dfrac{{2 - x}}{4} = \dfrac{2}{{3x}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{2 + x}} = \dfrac{2}{{3x}}\)\( \Rightarrow 6{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 2 = 0\) Phương trình này có \(a + b + c = 3 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 0\) nên có hai nghiệm phân biệt \(x = 1;x = \dfrac{{ - 2}}{3}\left( {TM} \right)\) Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1;x = - \dfrac{2}{3}.\)
Câu 25 :
Đồ thị hàm số $y = (3 - m)x + m + 3$ đi qua gốc tọa độ khi:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức: Điểm thuộc đồ thị hàm số. Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b$ \( \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\) Lời giải chi tiết :
Ta có điểm $O\left( {0\;;0} \right)$ thuộc đường thẳng $y = (3 - m)x + m + 3 \Leftrightarrow (3-m).0+m + 3 = 0 $$\Leftrightarrow m+3=0\Leftrightarrow m = - 3$
Câu 26 :
Tính thể tích của một hình nón cụt có các bán kính đáy bằng \(4 cm\) và \(7cm\), chiều cao bằng \(11 cm.\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính thể tích hình nón cụt $V = \dfrac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2})$ với các bán kính đáy là $R$ và $r,$chiều cao $h.$ Lời giải chi tiết :
 Thể tích nón cụt là $V = \dfrac{1}{3}\pi h({R^2} + Rr + {r^2}) = \dfrac{1}{3}.\pi .11\left( {{4^2} + 4.7 + {7^2}} \right) = 341\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)$
Câu 27 :
Tìm điều kiện của $x$ để căn thức \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa.
Đáp án : C Phương pháp giải :
\(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\) lấy giá trị không âm tức là \(A \ge 0.\) Ngoài ra: \(\dfrac{1}{A} \ge 0 \Leftrightarrow A > 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 0 \Rightarrow x - 1 > 0\) (vì $1>0$) \( \Leftrightarrow x > 1\)
Câu 28 :
Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai \(2\) giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau \(7,5\) giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau \(20\) giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 2} \right)\). Giải phương trình để tìm x. Lời giải chi tiết :
Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \(x\) (giờ), \(\left( {x > 2} \right)\). Trong một giờ: - Vòi thứ nhất chảy được \(\dfrac{1}{x}\) ( bể). - Vòi thứ hai chảy được \(\dfrac{1}{{x - 2}}\) ( bể). - Vì vòi thứ ba chảy ra trong 7,5 giờ thì cạn bề nên trong 1h vòi thứ ba chảy được \(\dfrac{2}{{15}}\) ( bể). Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{15}} = \dfrac{1}{{20}}\) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{11}}{{60}}\) \(\dfrac{{x - 2 + x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{11}}{{60}}\) \(\dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x}} = \dfrac{{11}}{{60}}\) \(120x - 120 = 11{x^2} - 22x\) \(11{x^2} - 142x + 120 = 0\) Ta có \(\Delta ' = 3721 > 0\) suy ra \(\sqrt {\Delta '} = 61\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \dfrac{{71 - 61}}{{11}} = \dfrac{{10}}{{11}}\left( {ktm} \right)\) và \(x_2 = \dfrac{{71 + 61}}{{11}} = 12\left( {tm} \right)\) Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau \(10\) giờ bể đầy nước.
Câu 29 :
Tập nghiệm của phương trình \(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó đưa về được phương trình bậc hai: \({t^2} + 4t - 12 = 0\). Giải phương trình bậc hai ẩn \(t\) sau đó quay lại tìm được \(x\). Lời giải chi tiết :
\(x + 4\sqrt x - 12 = 0\) (1) ĐKXĐ: \(x \ge 0.\) Đặt: \(\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 12 = 0.\) Có: \(\Delta ' = {2^2} + 12 = 16 > 0 \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 2 + \sqrt {16} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = - 2 - \sqrt {16} = - 6\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\) Với \(t = 2 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4.\)
Câu 30 :
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(5\,cm\) và diện tích xung quanh bằng \(300\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) . Chiều cao của hình trụ là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao \(h\) là \({S_{xq}} = 2\pi {R}h\) Lời giải chi tiết :
Gọi chiều cao của hình trụ là \(h.\) Ta có \({S_{xq}} = 2\pi R.h \Leftrightarrow 2\pi {.5}.h = 300\pi \Leftrightarrow h = 30\,cm.\)
Câu 31 :
Cho hình trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) . Nếu ta tăng chiều cao lên hai lần và giảm bán kính đáy đi hai lần thì
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức tính chu vi đáy, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ. Lời giải chi tiết :
Chiều cao mới của hình trụ là \(h' = 2h\); bán kính đáy mới là \(R' = \dfrac{R}{2}\) Hình trụ mới có: Chu vi đáy: \(2\pi R' = 2\pi \dfrac{R}{2} = \pi R < 2\pi R = C\) nên phương án D sai. Diện tích toàn phần: \(2\pi R'h + 2\pi {R'^2} = 2\pi Rh + \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} \ne 2\pi Rh + 2\pi {R^2}\) nên phương án B sai. Thể tích: \(\pi {R'^2}h = \dfrac{{\pi {R^2}h}}{4} \ne \pi {R^2}h\) nên phương án A sai. Diện tích xung quanh: \(2\pi R'h = 2\pi .\dfrac{R}{2}.2h = 2\pi Rh\) nên phương án C đúng.
Câu 32 :
Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách B là 72 km, thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc thực của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4km/h.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: +) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn +) Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết. +) Lập phương trình-giải phương trình. +) Chọn kết quả và trả lời.  Phương trình: \(\dfrac{{72}}{{x - 4}} - \dfrac{{80}}{{x + 4}} = \dfrac{1}{4}\) Lời giải chi tiết :
Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\left( {x > 0,km/h} \right)\) Đổi 15 phút = \(\dfrac{{15}}{{60}} = \dfrac{1}{4}\)h *) Xuôi dòng: Vận tốc của ca nô là \(x + 4\left( {km/h} \right) \Rightarrow \) Thời gian xuôi dòng của ca nô là \(\dfrac{{80}}{{x + 4}}(h)\) *) Ngược dòng: Vận tốc ngược dòng của ca nô là \(x - 4\left( {km/h} \right) \Rightarrow \) Thời gian ngược dòng của ca nô là \(\dfrac{{72}}{{x - 4}}(h)\) Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút nên ta có phương trình: \(\begin{array}{l}\;\;\;\;\dfrac{{72}}{{x - 4}} - \dfrac{{80}}{{x + 4}} = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{288(x + 4) - 320(x - 4)}}{{(x - 4)(x + 4)}} = \dfrac{{{x^2} - 16}}{{(x - 4)(x + 4)}}\\ \Rightarrow - 32x + 2432 = {x^2} - 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 32x - 2448 = 0\\\Delta = {16^2} + 2448 = 2704 \Rightarrow \sqrt \Delta = 52\end{array}\) Phương trình có hai nghiệm \(x = - 16 + 52 = 36(tmdk)\),\(x = - 16 - 52 = - 68\) (loại) Vậy vận tốc thực của ca nô là \(36km/h.\)
Câu 33 :
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = S\\u.v = P\end{array} \right. \Rightarrow \) \(u,v\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - Sx + P = 0\). (ĐK: \({S^2} \ge 4P\) ) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\begin{array}{l}S = \sqrt 5 - 2 + \sqrt 5 + 2 = 2\sqrt 5. \\P = (\sqrt 5 - 2)(\sqrt 5 + 2) = 5 - 4 = 1\end{array}\). Nhận thấy \({S^2} > 4P\,\left( {{\rm{do}}\,{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} = 20 > 4} \right)\) Nên phương trình bậc hai có 2 nghiệm \(\sqrt 5 - 2\) và \(\sqrt 5 + 2\) là: \({x^2} - 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0\).
Câu 34 :
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Gọi $P,\,Q,R$ lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong góc \(A,\,B,\,C\) với đường tròn. Giả sử rằng \(S = AP \cap RQ.\) Khi đó:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc nội tiếp chia cung bị chắn thành hai cung bằng nhau. - Tính chất góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Lời giải chi tiết :
 Ta có tia phân giác \(AP\) chia đôi cung \(BC\) thành hai cung bằng nhau, hay\(sđ\overparen{BP} = sđ\overparen{CP}=\dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{BC}.\) Tương tự ta có $sđ\overparen{AQ} = sđ\overparen{CQ}=\dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AC} $$sđ\overparen{AR} = sđ\overparen{BR}=\dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AB} .$ Khi đó theo tính chất của góc có đỉnh bên trong đường tròn ta có \(\begin{array}{l}\widehat {ASQ} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\,\overparen{AQ} + sđ\,\overparen{PR}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AC} + \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AB} + \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{BC}} \right) \\= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}{{.360}^0}} \right) = {90^0}.\end{array}\)
Câu 35 :
Tính độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp \(\left( {O;R} \right)\) theo \(R.\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng \(\frac{\sqrt 3}{3}a\). Lời giải chi tiết :
 Tam giác đều nội tiếp \(\left( {O;R} \right)\) theo \(R\) thì đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) ngoại tiếp tam giác đều. Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có bán kính bằng \(\frac{\sqrt 3}{3}a\) hay \(R =\frac{\sqrt 3}{3}a\). Suy ra \(a = R:\frac{\sqrt 3}{3} = R.\frac{3}{\sqrt 3} = \sqrt 3R\).
Câu 36 :
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx + 1\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là các giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). Tìm \(m\) để biểu thức \(M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Viết phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\). + Đánh giá \(M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right)\) bằng cách sử dụng hệ thức Vi-et. Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là: \({x^2} = mx + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0\) (1) \(\Delta = {m^2} + 4 > 0\) với mọi \(m\) nên (1) có hai nghiệm phân biệt, suy ra \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) với \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1). Theo định lý Viet, ta có: \({x_1} + {x_2} = m;{x_1}{x_2} = - 1\) Vì \(A;B \in \left( P \right) \Rightarrow {y_1} = x_1^2;{y_2} = x_2^2\). Ta có $M = \left( {{y_1} - 1} \right)\left( {{y_2} - 1} \right) $$= \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 1} \right)$$ = x_1^2x_2^2 - \left( {x_1^2 + x_1^2} \right) + 1$ $ = x_1^2x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 1$ \( = 1 - 2 - {m^2} + 1 = - {m^2} \le 0\) Vậy \(\max M = 0\) khi \(m = 0\).
Câu 37 :
Cho mặt cầu có thể tích \(V = 288\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\) . Tính đường kính mặt cầu.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ để tính bán kính, từ đó suy ra đường kính của mặt cầu. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 288\pi \) \({R^3} = 216\) \(R = 6\,cm\) Từ đó đường kính mặt cầu là \(d = 2R = 2.6 = 12\,cm\).
Câu 38 :
Cho hình vẽ, tìm \(x.\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ bình phương cạnh góc vuông bằng tích hình chiếu của nó lên cạnh huyền với cạnh huyền” Lời giải chi tiết :
 Đặt tên như hình vẽ trên. Tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\) có \(MH \bot NP\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(M{N^2} = N{H^2}.NP \Rightarrow {6^2} = x.8 \Rightarrow x = 36:8 = 4,5.\) Vậy \(x = 4,5.\)
Câu 39 :
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Câu 40 :
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có $AB = 5cm,AC = 12cm$ và đường cao $AH = 3cm$ ($H$ nằm ngoài $BC$) , khi đó $R$ bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
Dựa vào tính chất tứ giác nội tiếp Định lí pi-ta-go Dấu hiệu và tính chất hai tam giác đồng dạng Lời giải chi tiết :
 Vẽ đường kính $AD$. Xét \(\Delta AHB\) vuông tại $H$ ta có $A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}$ (Py-ta-go) Mà $AB = 5cm,AH = 3cm$ nên $HB = 4cm$. Ta có tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ABC} = {180^0}\) (tính chất) Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {ABH} = {180^0}\) (kề bù) nên \(\widehat {ADC} = \widehat {ABH}\). Xét $\Delta AHB$ và \(\Delta DCA\) có: \(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0}\) \(\widehat {ADC} = \widehat {ABH}\) (cmt) \( \Rightarrow \Delta AHB \backsim \Delta DCA\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{HB}}{{CA}} = \dfrac{{AB}}{{DA}} \Rightarrow DA = \dfrac{{CA.AB}}{{HB}} = \dfrac{{12.5}}{4} = 15 \Rightarrow OA = \dfrac{{15}}{2} = 7,5cm\) |
