Đề 3 trang 225 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

ĐỀ 3.

Câu 1 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (4 điểm)

Cho hàm số: $y =  - {x^3} + 3x - 2$

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0).

3) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình $- {x^3} + 3x - 2 = {\log _3}m$

Hướng dẫn làm bài

1) Vẽ biểu đồ

2) Ta có:  y’(1) = 0. Vậy phương trình của tiếp tuyến là y = 0

3) Dựa vào đồ thị (C) và đường thẳng $y = {\log _3}m$ , ta có:

* Khi ${\log _3}m <  - 4 \Leftrightarrow m < {1 \over {81}}$, phương trình có một nghiệm

* Khi ${\log _3}m =  - 4 \Leftrightarrow m = {1 \over {81}}$, phương trình có hai nghiệm.

* Khi $0 > {\log _3}m >  - 4 \Leftrightarrow 1 > m > {1 \over {81}}$, phương trình có ba nghiệm.

* Khi ${\log _3}m = 0 \Leftrightarrow m = 1$, phương trình có hai nghiệm.

* Khi ${\log _3}m > 0 \Leftrightarrow m > 1$ , phương trình có một nghiệm.

Kết luận:

* Phương trình có một nghiệm khi m > 1 hoặc $m < {1 \over {81}}$

* Phương trình có hai nghiệm khi m = 1 hoặc  $m = {1 \over {81}}$

* Phương trình có ba nghiệm khi ${1 \over {81}} < m < 1$ .

Câu 2 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1)  $f(x) = \ln ({x^2} + x - 2)$    trên đoạn  [3; 6]

2)  $f(x) = {\cos ^2}x + \cos x + 3$

Hướng dẫn làm bài

1)  f(x) xác định trên R\[-2; 1] nên xác định trên đoạn [3; 6]

 $f'(x) = {{2x + 1} \over {{x^2} + x - 2}}$

Ta thấy $f{\rm{ }}\left( x \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0{\rm{ }},\forall x \in {\rm{[}}3;6]$ nên trên đoạn [3; 6] hàm số f(x) đồng biến.

Vậy  $\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}3;6]} f(x) = f(3) = \ln 10;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}3;6]} f(x) = f(6) = \ln 40$

2) Vì f(x) là hàm số tuần hoàn chu kì $2\pi$, nên ta chỉ cần xét f(x) trên đoạn ${\rm{[}}0;2\pi {\rm{]}}$

$f'(x) =  - 2\sin x\cos x - \sin x;f'(0) = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\{ }}0;{{2\pi } \over 3};\pi ;{{4\pi } \over 3};2\pi {\rm{\} }}$

$f(0) = f(2\pi ) = 5;f({{2\pi } \over 3}) = 2{3 \over 4};f(\pi ) = 3;f({{4\pi } \over 3}) = 2{3 \over 4}$

Vậy $\mathop {\min }\limits_R f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;2\pi {\rm{]}}} f(x) = 2{3 \over 4};\mathop {\max }\limits_R f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2\pi {\rm{]}}} f(x) = 5$

Câu 3 trang 226 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

1) Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^1 {(3{x^2} + 2x + 1){e^{2x}}dx}$                b) $\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\cos 3x} .\cos 4xdx$

2) Tìm modun của các số phức sau:

a) $z = ( - 4 + i\sqrt {48} )(2 + i)$                                                     b) $z = {{1 + i} \over {2 - i}}$

Hướng dẫn làm bài

1)  a) Đáp số : ${7 \over 4}{e^2} - {3 \over 4}$

b) $\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\cos 3x\cos 4xdx}  = {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {(\cos 7x + \cos x)dx = {3 \over 7}}$

2)  a) $z = ( - 4 + i\sqrt {48} )(2 + i)$ nên

 $|z| = | - 4 + i\sqrt {48} |.|2 + i| = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{(\sqrt {48} )}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}}  = 8\sqrt 5$

b) $z = {{1 + i} \over {2 - i}}$  nên  $|z| = {{|1 + i|} \over {|2 - i|}} = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt {{2 \over 5}}$.

Sachbaitap.com