Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\sin \frac{2}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x > 0\\a\cos x - 5\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \le 0\end{array} \right.\) . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực \(a\) để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
- A \(a = 7\)
- B \(a = 5\)
- C \(a = \frac{{11}}{2}\)
- D Không có giá trị \(a\) thõa mãn.
Phương pháp giải:
Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0.\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng và .
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos x - 5} \right) = a - 5;\,\,\,f\left( 0 \right) = a - 5.\)
Ta có với mọi \(x:\,\,\left| {x\sin \frac{2}{x}} \right| \le \left| x \right| \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sin \frac{2}{x}} \right) = 0.\)
Hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại \(x = 0 \Leftrightarrow a - 5 = 0 \Leftrightarrow a = 5.\)
Chọn B.
Câu hỏi trước
