Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 2$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$  liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$  

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục trên $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$ .

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 2$:

$\begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 2m + m + 1 = 3m + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {mx + m + 1} \right) = 3m + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 1}}{x} = \frac{1}{2}\end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $\mathbb{R} \Leftrightarrow$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{6}.$

Chọn C.