Phương pháp giải:

Xét tính liên tục hàm số tại \(x = 1\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định và liên tục với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\,\,1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\)

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 1:\)

\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = \frac{{0 + 2}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}} = \frac{2}{3}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{1 - x}} + 2}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 1}} + 2}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = \frac{2}{3}.\end{array}\) ;

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại điểm \(x = 1\).

Vậy hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn A.