Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 2.$

Hàm số $y = f\left( x \right)$  liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$  

Lời giải chi tiết:

TXĐ : $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

Ta có hàm số luôn xác định và liên tục trên $\left( { - \infty ;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).$ Xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x = 2.$

 Ta có : $f(2) = 2 - 2 = 0.$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2 - x} \right) = 2 - 2 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{(x - 2)(x - 3)}}{{2(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 3}}{{2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} =  - \frac{1}{{24}}.\\ \Rightarrow f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\end{array}$ 

$\Rightarrow$ Hàm số không liên tục tại $x = 2$.

Chọn D.