Phương pháp giải:

Xác định a để hàm số liên tục tại $x = 2.$

Hàm số $y = f\left( x \right)$  liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$  

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).$

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow$ hàm số liên tục tại điểm $x = 2.$

Ta có: $f\left( 2 \right) = \left( {1 - a} \right).2 = 2 - 2a.$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - a} \right)x = 2\left( {1 - a} \right) = 2 - 2a.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {a^2}\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right) = 4{a^2}.\end{array}$

$\Rightarrow$  Hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow$ $2 - 2a = 4{a^2} \Leftrightarrow 4{a^2} + 2a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\a =  - 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow S = \frac{1}{2} + \left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{2}.$  

Chọn B.