Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0\) và \(x =  - 2\) .

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có hàm số đã cho luôn xác định và liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 2;\,0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).\)

Cần xét tính liên tục của hàm số tại các điểm \(x =  - 2;\,x = 0.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0;\,\,f\left( 0 \right) = 0 + 1 = 1.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại điểm \(x = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} x =  - 2;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \left( {6 - x} \right) = 8;\,\,\,f\left( { - 2} \right) =  - 2.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại điểm \(x =  - 2.\)

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x = 0\) và  tại \(x =  - 2.\)

Chọn C.