Phương pháp giải:

Xét tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : $\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

TXĐ:  $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc TXĐ và gián đoạn tại các điểm $x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Chọn D.