Phương pháp giải:

Xác định tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}} \right\} \Rightarrow \) hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in \left[ { - 1;\,1} \right] \Rightarrow \) loại đáp án A.

+) Đáp án B: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\} \Rightarrow \) hàm số gián đoạn tại điểm \(x = \frac{2}{3} \in \left[ { - 1;\,1} \right] \Rightarrow \) loại đáp án B.

+) Đáp án D: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;\,1} \right\} \Rightarrow \) hàm số gián đoạn tại điểm \(x =  \pm 1 \in \left[ { - 1;\,1} \right] \Rightarrow \) loại đáp án D.

+) Hàm số \(y = \sin x\) xác định trên \(\left[ { - 1;1} \right]\)  và  liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Chọn C.