Phương pháp giải:

Xác định tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết:

+) Đáp án A: TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}} \right\} \Rightarrow$ hàm số gián đoạn tại điểm $x = 0 \in \left[ { - 1;\,1} \right] \Rightarrow$ loại đáp án A.

+) Đáp án B: TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{2}{3}} \right\} \Rightarrow$ hàm số gián đoạn tại điểm $x = \frac{2}{3} \in \left[ { - 1;\,1} \right] \Rightarrow$ loại đáp án B.

+) Đáp án D: TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;\,1} \right\} \Rightarrow$ hàm số gián đoạn tại điểm $x =  \pm 1 \in \left[ { - 1;\,1} \right] \Rightarrow$ loại đáp án D.

+) Hàm số $y = \sin x$ xác định trên $\left[ { - 1;1} \right]$  và  liên tục trên $\left[ { - 1;1} \right]$.

Chọn C.