Phương pháp giải:

+) Công thức tính chu vi đường tròn có bán kính $r:\;\;C = 2\pi r.$

+) Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính $R:\;\;S = 4\pi {R^2}.$

Lời giải chi tiết:

Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến giữa $\left( P \right)$ và $\left( S \right).$

$\Rightarrow C = 4\sqrt 2 a\pi  = 2\pi r \Leftrightarrow r = 2\sqrt 2 a.$

Ta có: $d\left( {O;\;\;\left( P \right)} \right) = a$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {R^2} = {d^2}\left( {O;\;\left( P \right)} \right) + {r^2} = {a^2} + 8{a^2} = 9{a^2}\\ \Rightarrow {S_{\left( S \right)}} = 4\pi {R^2} = 4\pi .9{a^2} = 36\pi {a^2}.\end{array}$

Chọn  A.