Phương pháp giải:

Chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là ${R_{cau}} = \sqrt {\dfrac{{S{A^2}}}{4} + R_{day}^2}$ trong đó R_đáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {SBC} \right)$. Khi đó ta có chóp SABC có cạnh SA vuông góc với mặt (SBC).

Gọi R_đáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Xét tam giác SBC có $\left\{ \begin{array}{l}SB = SC = a\\\widehat {BSC} = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SBC$ đều $\Rightarrow {R_{day}} = \dfrac{{{a^3}}}{{4S}} = \dfrac{{{a^3}}}{{4.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}$.

Áp dụng công thức tính nhanh ${R_{cau}} = \sqrt {\dfrac{{S{A^2}}}{4} + R_{day}^2}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}$.

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{7{a^2}}}{{12}} = \dfrac{{7\pi {a^2}}}{3}$.

Chọn B.