Phương pháp giải:

+) Chứng minh $SC \bot \left( {AMNP} \right)$.

+) Sử dụng công thức tỉ số thể tích tính thể tích chóp S.AMNP.

+) Sử dụng công thức tính thể tích ${V_{S.AMNP}} = \dfrac{1}{3}SN.{S_{AMNP}} \Rightarrow {S_{AMNP}} = \dfrac{{3{V_{S.AMNP}}}}{{SN}}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O = AC \cap BD$.

Do M thuộc mặt cầu đường kính AC $\Rightarrow \widehat {AMC} = {90^0} \Rightarrow MC \bot MA$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM$

$\Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AM \bot SB$ và $AM \bot SC$.

Chứng minh tương tự ta có $AP \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AP \bot SC;\,\,AP \bot SD$.

N thuộc mặt cầu đường kính $AC \Rightarrow \widehat {ANC} = {90^0} \Rightarrow AN \bot SC$.

$\Rightarrow SC \bot \left( {AMNP} \right)$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC ta có $SN = \dfrac{{S{A^2}}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}$ và $\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2{a^2}}} = \dfrac{1}{3}$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB ta có $\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = \dfrac{1}{2}$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAD ta có $\dfrac{{SP}}{{SD}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {a^2}}} = \dfrac{1}{2}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\\dfrac{{{V_{S.ANP}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SN}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.AMNP}} = {V_{S.AMN}} + {V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}}}{{18}}\end{array}$

Lại có ${V_{S.AMNP}} = \dfrac{1}{3}SN.{S_{AMNP}} \Rightarrow {S_{AMNP}} = \dfrac{{3{V_{S.AMNP}}}}{{SN}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}}}{{18}}}}{{\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}$.

Chọn D.