Phương pháp giải:

a) Hàm số $y = ax + b$ nghịch biến $\Leftrightarrow a < 0.$

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {1;\;2} \right)$ vào công thức của đường thẳng $\left( d \right)$  để tìm $m.$

c) Thay giá trị $m =  - 2$ vào công thức của đường thẳng $\left( d \right)$  sau đó vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số bậc nhất $y = (2m + 1)x - 6$ nghịch biến trên $R$ khi $2m + 1 < 0$

$\Leftrightarrow 2m <  - 1\,\, \Leftrightarrow m < \frac{{ - 1}}{2}$

b) Đồ thị hàm số $y = (2m + 1)x - 6$ đi qua điểm $A(1\,;\,\,2)\,\,$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 = (2m + 1).1 - 6\\ \Leftrightarrow 2 = 2m + 1 - 6\,\,\\ \Leftrightarrow 2m = 7\,\,\\ \Leftrightarrow m = \frac{7}{2}.\end{array}$

c) Khi $m =  - 2$ ta có $y =  - 3x - 6$.

Cho $x = 0 \Rightarrow y =  - 6\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,y = 0 \Rightarrow x =  - 2$

Đồ thị hàm số $y =  - 3x - 6$ đi qua $2$ điểm $A\,( - 2\,;\,\,0);\,\,B\,(0\,;\,\, - 6)$

Chọn B.