Phương pháp giải:

- Nhận xét rằng với a thuộc \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) thì a càng lớn thì \(\cos a\)càng nhỏ.

- Để A nhỏ nhất thì \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) lớn nhất.

- Đánh giá giá trị của biểu thức \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) với các điều kiện cho trước

Lời giải chi tiết:

Vì x, y, z thay đổi trên \(\left[ {0;1} \right]\)nên \({x^2} + {y^2} + {z^2} \le x + y + z = \frac{3}{2} < \frac{\pi }{2}\).

Vậy nên: \(A = \cos \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge \cos \frac{3}{2}\), tuy nhiên dấu bằng không xảy ra.

Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của \(B = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) với \(x,y,z \in \left[ {0;1} \right];\,\,x + y + z = \frac{3}{2}\).

Do dữ kiện trên nên có ít nhất 1 số thuộc \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right]\), không mất tính tổng quát\(z \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\), khi đó \(x + y = \frac{3}{2} - z\).

\(B = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy + {z^2} = \frac{9}{4} - 3z + 2{z^2} - 2xy \le \frac{9}{4} - 3z + 2{z^2}\).

Xét \(f\left( z \right) = \frac{9}{4} - 3z + 2{z^2} = \frac{9}{8} + 2{\left( {z - \frac{3}{4}} \right)^2}\)

Với \(z \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\) thì \(0 \le \left| {z - \frac{3}{4}} \right| \le \frac{1}{4} \Rightarrow f\left( z \right) \le \frac{9}{8} + 2{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{5}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(z = \frac{1}{2} \vee z = 1\).

Vậy \(Min\left( A \right) = \cos \frac{5}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}z = \frac{1}{2}\\z = 1\end{array} \right.\\xy = 0\\x + y + z = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\x + y = 1\\z = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\x + y = \frac{1}{2}\\z = 1\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Có thể chọn \(\left( {x;\;y;\;z} \right) = \left( {0;\;1;\;\frac{1}{2}} \right)\) hoặc các hoán vị của nó.

Khi đó: \({x^3} + {y^3} + {z^3} = \frac{9}{8}\)

Chọn A.