Phương pháp giải:

- Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá y, dùng dữ kiện  \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4\)

\(\)\(\left| y \right| = \left| {a + b\sqrt 2 \sin x + c\sin 2x} \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}2x}  = 2\sqrt {3 - \cos 2x - {{\cos }^2}2x} \)

- Xét tiếp vế trái bất đẳng thức với dữ kiện \( - 1 \le \cos 2x \le 1\)

- Dùng điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức Bunhiacopxki để tính a, b, c

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| y \right| = \left| {a + b\sqrt 2 \sin x + c\sin 2x} \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}2x}  = 2\sqrt {3 - \cos 2x - {{\cos }^2}2x} \)

Đặt \(t = \cos 2x\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right).\) Xét: \(f(t) = 3 - t - {t^2} = \frac{{13}}{4} - {\left( {\frac{1}{2} + t} \right)^2} \le \frac{{13}}{4}\)

\(\)Thế thì: \(\left| y \right| \le \sqrt {13} \). Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}t = \cos 2x =  - \frac{1}{2}\\a = \frac{b}{{\sqrt 2 \sin x}} = \frac{c}{{\sin 2x}}\end{array} \right.\)

Ta tìm được: \(x = \frac{\pi }{3}\), ta tính được: \(\frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt 2 \sin \frac{\pi }{3}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

Chọn A.