Phương pháp giải:

Biến đổi hàm số về dạng đơn giản hơn. Áp dụng công thức:

\(\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2};\frac{1}{{1 + {{\cot }^2}2x}} = {\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Biến đổi:

\(\begin{array}{l}y = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} + \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}2x}} = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\\\;\;\; = 1 + \frac{1}{2}(\cos 4x - \cos 2x)\end{array}\)

Ta có: Hàm số \(y = \cos 4x\) có chu kì \(\frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\); \(y = \cos 2x\) có chu kì \(\frac{{2\pi }}{2} = \pi \). Vậy hàm số \(y = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} + \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}2x}}\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Chọn D.