Phương pháp giải:

Dùng điều kiện cần và đủ để xác định giá trị của \(m\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \left( {2m - 1} \right)\cos \left( { - x} \right) + \left( {2m + 1} \right)\sin \left( { - x} \right) = \left( {2m - 1} \right)\cos x - \left( {2m + 1} \right)\sin x.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số là hàm lẻ \( \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right)\cos x + \left( {2m + 1} \right)\sin x =  - \left[ {\left( {2m - 1} \right)\cos x - \left( {2m + 1} \right)\sin x} \right]\\ \Leftrightarrow 2\left( {2m - 1} \right)\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Thử lại:  Thay \(m = \frac{1}{2}\)ta có  \(f(x) = 2\sin x\) là hàm số lẻ.

Vậy \(m = \frac{1}{2}\) thỏa mãn.

Chọn C.