Phương pháp giải:

Rút gọn A, sau đó thay giá trị của x vào biểu thức A để tính giá trị của A.

- Áp dụng tính chất: $\left| A \right| =  \pm A$

- Áp dụng tính chất: Phân thức đạt giá trị nguyên khi và chỉ khi tử số chia hết cho mẫu số, tức là mẫu số là ước của tử số.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}a)\,\,A = \frac{5}{{x + 3}} - \frac{2}{{3 - x}} - \frac{{3{x^2} - 2x - 9}}{{{x^2} - 9}}\,\,\left( {x \ne  \pm 3} \right)\\ = \frac{5}{{x + 3}} + \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{3{x^2} - 2x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x + 3} \right) - 3{{\rm{x}}^2} + 2x{\rm{ + }}9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{5x - 15 + 2x + 6 - 3{x^2} + 2x\,{\rm{ + }}\,9}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{ - 3{x^2} + 9x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{ - 3x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 3x}}{{x + 3}}.\end{array}$

$b)\,\,\left| {x - 2} \right| = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( {ktm} \right)\\x = 1\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Với $x = 1$ thay vào A ta có: $A = \frac{{ - 3.1}}{{1 + 3}} = \frac{{ - 3}}{4}$.

c) Ta có: $A = \frac{{ - 3x}}{{x + 3}} =  - 3 + \frac{9}{{x + 3}}$, để $A$  nguyên  $\Leftrightarrow \left( {x + 3} \right) \in U\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1;\; \pm 3;\; \pm 9} \right\}$

Vậy với $x \in \left\{ { - 2; - 4;\;0; - 6;\;6; - 12} \right\}$ thì $A$  nguyên.

Chọn C.