Phương pháp giải:

 Dựng hình, sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng hoặc áp dụng phương pháp tọa độ hóa (hình giải tích Oxyz) để tính góc 

Lời giải chi tiết:

Ta có $\left\{ \begin{align} & \left( ABC \right)\cap \left( CMN \right)=\left\{ C \right\} \\ & AB//MN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left( ABC \right)\cap \left( CMN \right)=\Delta$ ($\Delta$ là đường thẳng đi qua $C$ và // với $AB$).

Gọi $E,\,\,I$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $MN$.

Gọi $F$ là trung điểm của $MI$.

Suy ra $\left\{ \begin{align} & EC\bot AB \\ & FC\bot MN \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left( \widehat{\left( ABC \right),\,\left( MNC \right)} \right)=\widehat{ECF}$

Ta có $MF=\frac{1}{4}MN=\frac{a}{4},$ $MC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow CF=\sqrt{M{{C}^{2}}-M{{F}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{4}$

Xét $\Delta EBC$ vuông tại $E,$ có $EC=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{E}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $EF=\frac{1}{2}E{A}'=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Áp dụng định lý $\operatorname{cosin}$ cho tam giác $ECF,$ $\cos \widehat{ECF}=\frac{E{{C}^{2}}+F{{C}^{2}}-E{{F}^{2}}}{2EC.FC}=\frac{5\sqrt{33}}{33}$

Vậy $\tan \widehat{ECF}=\sqrt{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\widehat{ECF}}-1}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$.

Chọn C