Phương pháp giải:

Gọi số bi ở mỗi hộp, số bi đen ở mỗi hộp, dựa vào giả thiết để tìm mối liên hệ giữa các ẩn và sử dụng phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên để tìm ẩn

Lời giải chi tiết:

Gọi hộp 1 có $x$ viên bi trong đó có $y$ bi đen. Hộp 2 có $a$ viên bi trong đó $b$ bi đen.

Tổng số bi của hai hộp 1 và 2 là $x+a=20.$ Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega  \right)=xa.$

Gọi $X$ là biến cố lấy được 2 bi đen $\Rightarrow \,\,n\left( X \right)=C_{y}^{1}.C_{b}^{1}=yb$$\Rightarrow \,\,P=\frac{n\left( X \right)}{n\left( \Omega  \right)}=\frac{yb}{xa}=\frac{55}{84}\Leftrightarrow 55xa=84yb.$

Do đó $xa$ chia hết cho $84$ mà $xa\le \frac{1}{4}{{\left( x+a \right)}^{2}}=100\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left\{ \begin{align}  x=6 \\  a=14 \\ \end{align} \right.$ (vì $x<a$).

Khi đó $yb=55$ và $y,\,\,b\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align}  y=5 \\  b=11 \\ \end{align} \right..$ Suy ra số bi trắng ở hộp 1 là 1, số bi trắng ở hộp 2 là 3.

Vậy xác suất cần tính là ${{P}_{0}}=\frac{1.3}{6.14}=\frac{1}{28}.$

Chọn B