Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định góc từ đó suy ra chiều cao của khối chóp

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$$\Rightarrow \,\,SO\bot \left( ABCD \right).$

Ta có $\widehat{\left( SA;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SA;OA \right)}=\widehat{SAO}={{45}^{0}}\Rightarrow SO=OA=a\sqrt{3}\Rightarrow AB=a\sqrt{6}$

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.{{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}=2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$

Chọn B.