Phương pháp giải:

+) Hàm số xác định $\Leftrightarrow 5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x\ge 0.$

+) Chuyển vế đưa bất phương trình về dạng $g\left( x \right)\le 5.$

+) Khi đó để hàm số xác định thì $Max\ g\left( x \right)\le 5$

+) Ta tìm điều kiện của m để $Max\ g\left( x \right)\le 5$

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định $\Leftrightarrow 5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x\ge 0\Leftrightarrow m\sin x+\left( m+1 \right)\cos x\le 5\,\,\,\forall x\in R$

$\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\cos x\le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\forall x\in R$

Đặt $\frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}=\cos \alpha ;\,\,\frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}=\sin \alpha$, khi đó bất phương trình trở thành

$\begin{align}  & \Leftrightarrow \sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha \le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\,\,\forall x\in R \\  & \Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha  \right)\le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\forall x\in R \\  & \Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\ge 1 \\  & \Leftrightarrow 5\ge \sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1} \\  & \Leftrightarrow 2{{m}^{2}+2m}+1\le 25 \\  & \Leftrightarrow {{m}^{2}+m-12}\le 0 \\  & \Leftrightarrow -4\le m\le 3 \\ \end{align}$

$\Rightarrow$ Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên.

Chọn B.