Phương pháp giải:

+) Hàm số xác định \(\Leftrightarrow 5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x\ge 0.\)

+) Chuyển vế đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right)\le 5.\)

+) Khi đó để hàm số xác định thì \(Max\ g\left( x \right)\le 5\)

+) Ta tìm điều kiện của m để \(Max\ g\left( x \right)\le 5\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định \(\Leftrightarrow 5-m\sin x-\left( m+1 \right)\cos x\ge 0\Leftrightarrow m\sin x+\left( m+1 \right)\cos x\le 5\,\,\,\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\cos x\le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\forall x\in R\)

Đặt \(\frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}=\cos \alpha ;\,\,\frac{m}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}=\sin \alpha \), khi đó bất phương trình trở thành

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \sin x.\cos \alpha +\cos x.\sin \alpha \le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\,\,\forall x\in R \\  & \Leftrightarrow \sin \left( x+\alpha  \right)\le \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\,\,\forall x\in R \\  & \Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1}}\ge 1 \\  & \Leftrightarrow 5\ge \sqrt{2{{m}^{2}}+2m+1} \\  & \Leftrightarrow 2{{m}^{2}+2m}+1\le 25 \\  & \Leftrightarrow {{m}^{2}+m-12}\le 0 \\  & \Leftrightarrow -4\le m\le 3 \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên.

Chọn B.