Phương pháp giải:

Xét hàm số $y=f\left( x \right)$ đối xứng $\left( x\in D\Rightarrow -x\in D \right)$

+) Hàm số là hàm chẵn $\Leftrightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right).$

+) Hàm số là hàm lẻ $\Leftrightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right).$

Lời giải chi tiết:

Xét các hàm số với từng đáp án ta được:

+) Đáp án A: $y={{\sin }^{2}}x$ có: $y\left( -x \right)={{\sin }^{2}}\left( -x \right)={{\sin }^{2}}x=y\left( x \right)\Rightarrow$ hàm số là hàm chẵn. Loại đáp án A.

+) Đáp án B: $y=x\cos 2x$ có: $y\left( -x \right)=-x.\cos \left( -2x \right)=-x.\cos 2x=-y\left( x \right)\Rightarrow$ hàm số là hàm lẻ. Chọn B.

+) Đáp án C: $y=x\sin x$ có: $y\left( -x \right)=-x\sin \left( -x \right)=x\sin x=y\left( x \right)\Rightarrow$ hàm số là hàm chẵn. Loại đáp án C.

+) Đáp án D: $y=\cos x$ có: $y\left( -x \right)=\cos \left( -x \right)=\cos x=y\left( x \right)\Rightarrow$ hàm số là hàm chẵn. Loại đáp án D.

Chọn B.