ƯU ĐÃI 50% HỌC PHÍ + CƠ HỘI NHẬN MÃ "LOCDAUNAM" GIẢM THÊM 600K HỌC PHÍ
Giờ
Phút
Giây
Câu hỏi:
Cho tứ diện ABCD cóAB=4a, CD=6a, các cạnh còn lại có độ dài bằnga√22. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD.
Phương pháp giải:
+) Xác định chiều cao hạ từ đỉnh A của tứ diện, từ các giả thiết suy ra tâm mặt cầu nằm trên đoạn MN.
+) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đáy BCD.
+) Từ tâm kẻ đường thẳng song song với đường cao hạ từ A, đường thẳng này cắt MN tại O là tâm mặt cầu cần tìm.
+) Dựa vào định lý Pytago để tính bán kính.
Lời giải chi tiết:
Gọi M,N, lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CD. Ta có ΔACD=ΔBCD(c-c-c) nên AN=BNdo đó tam giác NAB cân tại N⇒MN⊥AB
Tương tự ta có MN⊥CD
Ta có (ABN)⊥CD⇒(ABN)⊥(BCD)
mà (ABN)∩(BCD)=BN. Trong (ABN)kẻ AH⊥BN⇒AH⊥(BCD)
Gọi Ilà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Dựng trục It, gọi O=It∩MN khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Ta có MN2=AN2−AM2=AD2−ND2−AM2=9a2⇒MN=3a.
Ta có OA2=OD2⇔OM2+MA2=ON2+ND2=R2
⇒OM2−ON2=ND2−MA2=9a2−4a2=5a2
⇒(OM−ON)(OM+ON)=5a2
Mà OM+ON=MN=3a⇒OM−ON=53a
Từ {OM+ON=3aOM−ON=53a⇔{OM=73aON=23a
Ta có R=√ON2+ND2=√(23a)2+(3a)2=a√853.
Chọn C.