Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Từ A kẻ AH vuông góc với $BC,\,\,H\in BC$                    (1)

Ta có $SB$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ $\Rightarrow SB\bot AH\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1), (2)  suy ra $AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=AH$.

Tam giác AHC vuông tại H, có $\cos \widehat{HAC}=\dfrac{AH}{AC}$.

$\Rightarrow AH=\cos \widehat{HAC}.AC=\cos {{45}^{0}}.AC=2a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2a$.

Chọn B.