Phương pháp giải:

- Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi $E$ là trung điểm của $SD$.

Tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$ nên $AE\bot SD$  (1).

Ta có: $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow AB\bot SA$

Mà $AB\bot AD$ nên $AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot AE$  (2).

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $AE$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

Xét tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$ có:

$SD=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=2a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AE=\frac{1}{2}SD=\frac{1}{2}.2a\sqrt{2}=a\sqrt{2}$

Chọn A.