30 bài tập khoảng cách nhận biếtLàm bàiQuảng cáo
Câu hỏi 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, SA=a;SA⊥(ABCD);AB=BC=a và AD=2a. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) theo a là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao. Lời giải chi tiết: Trong (ABCD) kẻ CE⊥AD Ta có: CE⊥ADCE⊥SA(SA⊥(ABCD))}⇒CE⊥(SAD)⇒d(C;(SAD))=CE Tứ giác ABCE là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông) ⇒CE=AB=a Chọn D. Câu hỏi 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB=2a,BC=a√2,BD=a√6. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là trọng tâm G của tam giác BCD, khoảng cách từ điểm B đến (SAC) theo a là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Trong (ABCD) kẻ BE⊥AC Ta có: {BE⊥ACBE⊥SG(SG⊥(ABCD))⇒BE⊥(SAC)⇒d(B;(SAC))=BE Ta có: BC2+CD2=2a2+4a2=6a2=BD2⇒ΔBCD vuông tại C⇒ABCD là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông) Xét tam giác vuông ABC có: 1BE2=1AB2+1BC2=14a2+12a2=34a2⇒BE=2a√3 Chọn B. Câu hỏi 3 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh BC=a,AC=2a√2, góc ^ACB=450. Cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Lời giải chi tiết: Từ A kẻ AH vuông góc với BC,H∈BC (1) Ta có SB vuông góc với (ABC) ⇒SB⊥AH(2) Từ (1), (2) suy ra AH⊥(SBC)⇒d(A;(SBC))=AH. Tam giác AHC vuông tại H, có cos^HAC=AHAC. ⇒AH=cos^HAC.AC=cos450.AC=2a√2.√22=2a. Chọn B. Câu hỏi 4 : Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình chữ nhật có AB=a√2. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách D từ Dđến mặt phẳng (SBC)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Lời giải chi tiết: Do AD // BC nên d(D;(SBC))=d(A;(SBC)). Gọi K là hình chiếu của A trên SB, suy ra AK⊥SB(1). Ta có: {BC⊥SABC⊥AB⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥AK(2) Từ (1) và (2) ⇒AK⊥(SBC) Khi d(A;(SBC))=AK=SA.AB√SA2+AB2=2a√33. Chọn C. Câu hỏi 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên SA=a√2 và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Lời giải chi tiết: Do AB // CD nên d(B;(SCD))=d(A;(SCD)). Kẻ AE⊥SD tại E. (1) Ta có: {CD⊥ADCD⊥SA⇒CD⊥(SAD)⇒CD⊥AE(2) Từ (1) và (2) ⇒AE⊥(SCD). Khi đó d(A;(SCD))=AE. Tam giác vuông SAD, có AE=SA.AD√SA2+AD2=a√63. Vậy d(B;(SCD))=AE=a√63. Chọn B. Câu hỏi 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 60∘. Tính khoảng cách Dtừ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Lời giải chi tiết: Xác định 600=^(SB;(ABCD))=^(SB;AB)=^SBA⇒SA=AB.tan^SBA=a√3. Ta có AD∥BC⇒AD∥(SBC)⇒d(D;(SBC))=d(A,(SBC)) Kẻ AK⊥SB(1). Ta có: {BC⊥SABC⊥AB⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥AK(2) Từ (1) và (2) ⇒AK⊥(SBC) Khi đó d(A;(SBC))=AK=SA.AB√SA2+AB2=a√32. Vậy d(D;(SBC))=AK=a√32. Chọn A. Câu hỏi 7 : Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông tâm O, cạnh aCạnh bên SA=a√152 và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách Dtừ O đến mặt phẳng (SBC).
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Lời giải chi tiết: Ta có : OA∩(SBC)=C⇒d(O;(SBC))d(A;(SBC))=OCAC=12 Do đó d(O;(SBC))=12d(A;(SBC)). Gọi K là hình chiếu của A trên SB ⇒AK⊥SB(1). Ta có: {BC⊥SABC⊥AB⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥AK(2) Từ (1) và (2) ⇒AK⊥(SBC)⇒d(A;(SBC))=AK Tam giác vuông SAB, có AK=SA.AB√SA2+AB2=a√28519. Vậy d(O;(SBC))=12AK=a√28538. Chọn C. Câu hỏi 8 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách Dtừ B đến mặt phẳng (SMC).
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Lời giải chi tiết: 600=^(SB;(ABC))=^(SB;AB)=^SBA;SA=AB.tan^SBA=a.√3=a√3. Do M là trung điểm của cạnh AB nên d(B;(SMC))=d(A;(SMC)). Trong (SAB) kẻ AK⊥SM(1). Ta có : {CM⊥ABCM⊥SA⇒CM⊥(SAB)⇒CM⊥AK(2) Từ (1) và (2) ⇒AK⊥(SCM)⇒d(A;(SMC))=AK. Tam giác vuông SAM, có AK=SA.AM√SA2+AM2=a√3913. Vậy d(B;(SMC))=AK=a√3913. Chọn B. Câu hỏi 9 : Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Đáp án: B Phương pháp giải: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng độ dài đoạn vuông góc chung. Lời giải chi tiết: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD; O là trọng tâm của ABC, G là giao điểm của DO và IJ. * Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD: Các tam giác ABC, ABD đều và bằng nhau, suy ra các đường cao tương ứng DI=IC. ⇒ΔDICcân tại I Mà IJ là trung tuyến ⇒IJ⊥CD (1) Ta có: IC⊥AB (vì tam giác ABC đều), DO⊥AB(vì DO⊥(ABC) ⇒AB⊥(DIC)⇒AB⊥IJ (2) Từ (1), (2) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD ⇒d(AB,CD)=IJ * Tính IJ: Tam giác ABC đều, cạnh a ⇒IC=a√32 J là trung điểm CD ⇒JC=a2 Tam giác IJC vuông tại J ⇒IC2=IJ2+JC2⇔(a√32)2=IJ2+(a2)2⇒IJ=a√22 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là a√22. Chọn: B. Câu hỏi 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AC=a√22. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 600. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC.
Đáp án: A Phương pháp giải: Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại, đưa về dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Lời giải chi tiết: Ta có SA⊥(ABCD)⇒^(SB;(ABCD))=^(SB;AB)=^SBA=600 Tam giác ABC vuông cân tại B nên AB=BC=AC√2=a2 Xét tam giác vuông SAB có : SA=AB.tan600=a2.√3=a√32 Ta có d(AD;SC)=d(AD;(SBC))=d(A;(SBC)). Kẻ AK⊥SB. Khi đó d(A;(SBC))=AK=SA.AB√SA2+AB2=a√32.a2√(a√32)2+(a2)2=a√34 Chọn A. Câu hỏi 11 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng BB’ và A’H.
Đáp án: B Phương pháp giải: Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại, đưa về dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Lời giải chi tiết: Do BB′∥AA′ nên d(BB′;A′H)=d(BB′;(AA′H))=d(B;(AA′H)). Ta có {BH⊥AHBH⊥A′H⇒BH⊥(AA′H) Nên d(B;(AA′H))=BH=BC2=a. Vậy khoảng cách d(BB′;A′H)=a. Chọn B. Câu hỏi 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết rằng đường thẳng SC tạo với đáy một góc 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là
Đáp án: A Phương pháp giải: Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại, đưa về dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Lời giải chi tiết: Ta có AC=a√2. Do SA⊥(ABCD) và SC tạo với đáy góc 600 nên ^SCA=600. Khi đó SA=ACtan600=a√6. Do {AB⊥ADAB⊥SA⇒AB⊥(SAD). Trong (SAD) dựng AH⊥SD(1) suy ra AB⊥AH(2) là đoạn vuông góc chung AB và SD. Ta có AH=SA.AB√SA2+AB2=a√6.a√6a2+a2=a√427. Vậy khoảng cách d(AB;SD)=a√427. Chọn A. Câu hỏi 13 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Đáp án: B Phương pháp giải: Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng còn lại. Lời giải chi tiết: Gọi H là trung điểm của BC khi đó SH⊥BC. Mặt khác (SBC)⊥(ABC) do đó SH⊥(ABC). Ta có SH=a√32 và AB=AC=a√2;AH=BC2=a2. Do {BC⊥AHBC⊥SH⇒BC⊥(SHA). Dựng HK⊥SA khi đó HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA. Lại có HK=SH.AH√SH2+HA2=a√34. Vậy d(SA;BC)=a√34. Chọn B. Câu hỏi 14 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600 và M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và CM.
Đáp án: B Phương pháp giải: Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại, đưa về dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Lời giải chi tiết: Ta có {BC⊥ABBC⊥SA⇒BC⊥(SAB)⇒^SBA là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) Ta có SA=ABtan^SBA=a√3. Do AB||CDdo đó d(AB;CM)=d(AB;(CMD))=d(A;(SCD)) Dựng AH⊥SD(1) ta có: {CD⊥ADCD⊥SA⇒CD⊥(SAD)⇒CD⊥AH(2). Từ (1) và (2) ⇒AH⊥(SCD), khi đó d(A;(SCD))=AH Lại có AH=SA.AD√SA2+AD2=a√3.a√3a2+a2=a√32. Do đó d=a√32. Chọn B. Câu hỏi 15 : Cho tứ diện đều ABCD. Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào là sai? Khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (ABC) là
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian Lời giải chi tiết: Gọi M là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác ABC Do ABCD là tứ diện đều ⇒DG⊥(ABC). Do đó, khoảng cách d(D;(ABC))=DG. Và G cũng là hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC đều ⇒G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chọn D. Câu hỏi 16 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian Lời giải chi tiết: Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn nối hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại. Chọn B. Câu hỏi 17 : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a√3. Chiều cao của khối chóp S.ABCD bằng
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian Lời giải chi tiết: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có AB \\ CD ⇒ CD \\ (SAB) ⇒ d(SA,CD) = d(CD,(SAB))= 2d(O,(SAB))= a√3 Gọi M là trung điểm của AB, kẻ OK⊥SM(K∈SM)(1) ta có : {AB⊥OMAB⊥SO⇒AB⊥(SOM)⇒AB⊥OK(2) Từ (1) và (2) ⇒OK⊥(SAB)⇒d(O;(SAB))=OK=a√32 Xét tam giác SMO vuông tại , có1SO2+1OM2=1OK2⇒SO=a√3 . Chọn D. Câu hỏi 18 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A′BC) theo a.
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải chi tiết: .Gọi H là trung điểm của A’B. Kẻ AH⊥A′B(H∈A′B) mà BC⊥(AA′B′B)⇒BC⊥AH⇒AH⊥(A′BC). Tam giác A′AB cân tại A⇒AH=A′B2=a√22. Vậy d(A;(A′BC))=a√22. Chọn A. Câu hỏi 19 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh A. Cạnh bên SA=a√3 và vuông góc với mặt đáy (ABC) Tính khoảng cách D từ Ađến mặt phẳng (SBC).
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Lời giải chi tiết: Gọi M là trung điểm BC, suy ra AM⊥BC và AM=a√32. Gọi K là hình chiếu của A trên SM, suy ra AK⊥SM. Ta có {AM⊥BCBC⊥SA⇒BC⊥(SAM)⇒BC⊥AK. Từ (1) và (2), suy ra AK⊥(SBC) nên d[A,(SBC)]=AK. Trong ΔSAM, có AK=SA.AM√SA2+AM2=3a√15=a√155. Vậy d[A,(SBC)]=AK=a√155. Chọn A Câu hỏi 20 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là sai ?
Đáp án: C Phương pháp giải: Lý thuyết xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Lời giải chi tiết: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. Chọn C Câu hỏi 21 : Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, AB = a. Tính d(A’D’DA; B’C’CB)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: (A’D’DA) // (B’C’CB) * Lấy D∈(A′D′DA). Ta có: +) d(A’D’DA; B’C’CB) = d(D; B’C’CB) = DC = a. Chọn đáp án A. Câu hỏi 22 : Chóp S.ABCD, SA⊥(ABCD), SA = a, ABCD là hình vuông, AB = a. Tính d(AD; SBC).
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: * Nhận xét: AD // BC ⇒AD // (SBC). * Lấy A∈AD. D\). Ta có d(AD; SBC) = d(A; SBC). * Vẽ AH⊥SBMau2⇒AH⊥(SBC). * Chứng minh AH⊥(SBC). Do đó d(A; SBC) = AH. * Tính AH: Xét tam giác SAB: 1AH2=1a2+1a2⇒AH=a√2 Chọn đáp án D. Câu hỏi 23 : Chóp S.ABC, SA⊥(ABC), SA = a. ΔABC đều, AB = a. Tính d(A ; SBC).
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: * Vẽ AE⊥BC, AH⊥SE. ⇒AH⊥(SBC)⇒d(A;(SBC))=AH. * Chứng minh : AH⊥(SBC) (Tự chứng minh). * Tính AH: Ta có: AE=a√32 Xét ΔvSAE: 1AH2=1SA2+1AE2=1a2+43a2=73a2⇒AH=a√3√7. Chọn đáp án B. Câu hỏi 24 : Lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, ΔABC vuông ở B, AB=a;BC=2a. Tính d(B;(ACC′A′)).
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết:
* Vẽ {BH⊥ACBH⊥AA′⇒BH⊥(ACC′A′) ⇒d(B;(ACC′A′))=BH * Tính BH trong ΔvABC : 1BH2=1a2+14a2=54a2 ⇒BH=2a√5 Chọn đáp án C. Câu hỏi 25 : Cho hình chóp đều S.ABCD, SA=2a;AB=a. Tính d(S;(ABCD)).
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết:
* Nối AC∩BD=O⇒O là tâm đáy ⇒SO⊥(ABCD). ⇒d(S;(ABCD))=SO. * Tính SO : BD=a√2⇒OB=a√22 ΔvSOB:SO=√SB2−OB2=√4a2−2a24=a√142 Chọn đáp án D. Câu hỏi 26 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, AA′=a. Tính d(A′C′;BD).
Đáp án: C Phương pháp giải: Lời giải chi tiết:
* Nhận xét : A′C′⊂(A′B′C′D′);BD⊂(ABCD). Mà (A′B′C′D′)//(ABCD) ⇒d(A′C′;BD)=d((ABCD);(A′B′C′D′))=d(A′;(ABCD))=AA′=a Chọn đáp án C. Câu hỏi 27 : Chóp S.ABCD, SA⊥(ABCD),SA=2a,ABCD là hình vuông, AB=a. Tính d(AB;SD).
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết:
* Nhận xét : {AB⊥ADAB⊥SA⇒AB⊥(SAD) ⇒AB⊥SD * Chọn A∈AB. Vẽ AH⊥SD. Vì AB⊥(SAD)⇒AB⊥AH d(AB;SD)=AH * Tính AH : ΔvSAD:1AH2=1a2+14a2=54a2⇒AH=2a√5 Chọn đáp án B. Câu hỏi 28 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a, khoảng cách từ đỉnh A đến đường thẳng B′D bằng
Đáp án: B Phương pháp giải: Dựng đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách Lời giải chi tiết: Kẻ AH⊥B′D(H∈B′D) suy ra 1AH2=1AD2+1AB′2=1a2+12a2=32a2⇒AH=a√63. Chọn B Câu hỏi 29 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng chứa đáy (ABCD), độ dài cạnh SA bằng 2a (Tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Khoảng cách từ S đến (ABCD) bằng độ dài khoảng cách từ S đến hình chiếu của S lên (ABCD). Lời giải chi tiết: SA⊥(ABCD)⇒d(S;(ABCD))=SA. Chọn B. Câu hỏi 30 : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm thỏa mãn f′(8)=5. Giá trị của biểu thức limx→8f(x)−f(8)x−8 bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x=x0 khi tồn tại giới hạn limx→x0f(x)−f(x0)x−x0. Khi đó f′(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0. Lời giải chi tiết: Do hàm số y=f(x) có đạo hàm thỏa mãn f′(8)=5 nên limx→8f(x)−f(8)x−8=f′(8)=5. Chọn B. Quảng cáo
|