Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Ta có $SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot CH$.                    (1)

Tam giác ABC cân tại C nên $CH\bot AB$.          (2)

Từ (1) và (2), suy ra $CH\bot \left( SAB \right)$.

Gọi I là trung điểm $AC$$\Rightarrow \,\,HI//BC\xrightarrow{BC\,\bot \,\,AC}HI\bot AC$. (3)

Mặt khác $AC\bot SH$ (do $SH\bot \left( ABC \right)$).         (4)

Từ (3) và (4), suy ra $AC\bot \left( SHI \right)$.

Kẻ $HK\bot SI\text{ }\,\left( K\in SI \right)$.   (5)

Từ $AC\bot \left( SHI \right)\Rightarrow AC\bot HK$.   (6).

Từ (5) và (6), suy ra $HK\bot \left( SAC \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}HK \bot \left( {SAC} \right)\\HC \bot \left( {SAB} \right)\end{array} \right.$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( SAB \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $HK$ và $HC$.

Ta có \(HK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow HK\bot CK\Rightarrow \Delta CHK\( vuông tại K.

Có $CH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$; $\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{a}{3}$.

Do đó $\cos \widehat{CHK}=\frac{HK}{CH}=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{a}{2}}=\frac{2}{3}.$

Chọn D.