Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC là hình chóp đều có SA = SB = SC nên suy ra H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi M là trung điểm của BC, ta có

$\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM$.

Khi đó

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SM;AM} \right)} = \widehat {SMA} = {60^0}$.

Tam giác ABC đều cạnh a có $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Tam giác $SHM$ vuông tại $H$, có $SH=\tan {{60}^{0}}.\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{2}.$

Vậy độ dài đường cao $SH=\frac{a}{2}.$

Chọn C.