Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

 Gọi $H$ là trung điểm của $AB,$ tam giác $SAB$ cân tại $S\Rightarrow SH\bot AB.$

Mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$ và đặt $SH=x.$

Tam giác $ABC$ vuông tại  có $\left\{ \begin{array}{l}AB = BC.\sin C = a\\AC = BC.\cos C = a\sqrt 3 \end{array} \right..$

Ta có $SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}},$ $HC=\sqrt{H{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}$

Và $SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{13{{a}^{2}}}{4}}$

Tam giác SBC vuông tại S nên $S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{x}^{2}}+\frac{13\,{{a}^{2}}}{4}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}$$\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\Rightarrow SH=\frac{a}{2}.$

Vậy diện tích tam giác $SAB$ là ${{S}_{\Delta \,SAB}}=\frac{1}{2}.SH.AB=\frac{{{a}^{2}}}{4}.$

Chọn C