Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Ta có $\left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC\Rightarrow BC$ là giao tuyến.

Mặt khác $SA\bot \left( ABC \right)$ và $\Delta ABC$ vuông tại $B\Rightarrow AB\bot BC$.

Nên $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow$$BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB$

. $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {45^0}$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, có $\widehat{SBA}={{45}^{0}}\Rightarrow SA=AB=a$.

Mà $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$.

Vậy $SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3$. 

Chọn B.