Phương pháp giải:

Sử dụng biến đổi \({1 \over {\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}} = {1 \over 2}\left( {{1 \over {2n - 1}} - {1 \over {2n + 1}}} \right)\,\,\,\forall n \ge 1\) rút gọn biểu thức u_n­.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {u_n} = {1 \over {1.3}} + {1 \over {3.5}} + {1 \over {5.7}} + ... + {1 \over {\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}  \cr   & \,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {{1 \over 1} - {1 \over 3}} \right) + {1 \over 2}\left( {{1 \over 3} - {1 \over 5}} \right) + {1 \over 2}\left( {{1 \over 5} - {1 \over 7}} \right) + ... + {1 \over 2}\left( {{1 \over {2n - 1}} - {1 \over {2n + 1}}} \right)  \cr   & \,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {{1 \over 1} - {1 \over 3} + {1 \over 3} - {1 \over 5} + {1 \over 5} - {1 \over 7} + .... + {1 \over {2n - 1}} + {1 \over {2n + 1}}} \right)  \cr   & \,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {1 - {1 \over {2n + 1}}} \right)  \cr   &  \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left[ {{1 \over 2}\left( {1 - {1 \over {2n + 1}}} \right)} \right] = {1 \over 2}\left( {1 - 0} \right) = {1 \over 2}. \cr} \)

Chọn A.