Phương pháp giải:

Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  (P):

+) Xác định hình chiếu d’ của d trên (P).

+) Góc giữa d và (P) là góc giữa d và d’

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( SAB \right),\left( SAD \right)\) cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến của chúng \(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)\) tại \(B\) nên hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) là \(SB\).

Do đó góc giữa \(SC\) và \(\left( SBC \right)\) là góc giữa \(SC\) và \(SB\) hay góc \(\widehat{BSC}=\alpha \).

\(\Delta SBC\)  vuông tại \(B\) nên \(\tan \alpha =\frac{BC}{SB}\).

\(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), theo Pytago ta có \(SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\).

\(\tan \alpha =\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Chọn A.