Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Vì O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABCD)

$\Rightarrow \widehat{SA;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SA;OA \right)}=\widehat{SAO}={{45}^{0}}\,\,\Rightarrow \,\,\Delta SAO$ vuông cân tại O  (1) 

Tam giác ABC vuông cân tại B, có $OA=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=a\sqrt{2}.$      $\left( 2 \right)$

Từ (1), (2) suy ra $SO=OA=a\sqrt{2}.$

Chọn B.