Câu hỏi:
Cho hai đường thẳng \({{\rm{d}}_1}:\dfrac{{{\rm{x}} - 2}}{1} = \dfrac{{{\rm{y}} - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{{\rm{z}} - 2}}{{ - 1}}\) và \({{\rm{d}}_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = {\rm{t}}}\\{{\rm{y}} = 3}\\{{\rm{z}} = - 2 + {\rm{t}}}\end{array}} \right.\). Viết phương trình đường thẳng D là đường vuông góc chung của \({{\rm{d}}_1}\) và \({\rm{d}}\).
- A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
- B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 + 3t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\)
- C \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 1 + 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)
- D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
VTCP của D: \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]\)
Nếu \({d_1} \bot {d_2}\) thì dựng mặt phẳng (P) qua \({{\rm{d}}_1}\) và vuông góc với\({{\rm{d}}_2}\).
Tìm giao điểm H của (P) với \({{\rm{d}}_2}\)
D đi qua H và nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]\) làm vecto chỉ phương.
Lời giải chi tiết:
Ta có \({d_1} \bot {d_2}\)
\(\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( { - 1; - 2;1} \right)\)
Gọi (P) là mặt phẳng qua \({{\rm{d}}_1}\) và vuông góc với\({{\rm{d}}_2}\).
=> (P) là mặt phẳng qua A(2;1;2) và nhận \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {1;0;1} \right)\) làm vtpt.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( P \right):1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + z - 4 = 0\end{array}\)
H là giao điểm của (P) với \({{\rm{d}}_2}\). Khi đó \(H\left( {t;3; - 2 + t} \right)\). Thay vào (P):
\(t - 2 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)\( \Rightarrow H\left( {3;3;1} \right)\)
\(D:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
Câu hỏi trước
