Phương pháp giải:

Chia đa thức tử cho đa thức mẫu.

Đưa phân thức bậc nhất trên bậc hai về dạng $\frac{A}{{x - {x_1}}} + \frac{B}{{x - {x_2}}}$ với ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của mẫu.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\int_0^1 {\frac{{{x^2} - 3}}{{{x^2} + 3x + 2}}} dx\\ = \int_0^1 {\left[ {1 + \frac{{ - 3x - 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]} dx\\ = 1 - \int_0^1 {\left[ {\frac{{2\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]} dx\\ = 1 - \int\limits_0^1 {\left( {\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = 1 - \ln 2 - \ln 3\\ \Rightarrow a = 1,b =  - 1,c =  - 1\\ =  > a + b + c =  - 1\end{array}$