Phương pháp giải:

- Xét 2 TH: \({m^2} - 4 = 0\) và \({m^2} - 4 \ne 0\).

+ Với \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\), đưa hàm số về dạng hàm số bậc nhất và bậc hai, xét xem hàm số có thỏa mãn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) hay không?

+ Với \({m^2} - 4 \ne 0\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

TH1:  \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\).

+ Với \(m = 2 \Rightarrow y = 7x - 9\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn).

+ Với \(m =  - 2\)\( \Rightarrow y = 4{x^2} + 7x - 9\) đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{7}{8}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{7}{8}} \right)\) (ktm).

TH2: \({m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\).

Ta có: \(y' = 3\left( {4 - {m^2}} \right){x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + 7\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {4 - {m^2}} \right){x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + 7 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\left( {4 - {m^2}} \right) > 0\\\Delta ' = {\left( {2 - m} \right)^2} - 21\left( {4 - {m^2}} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - {m^2} > 0\\\left( {2 - m} \right)\left( {2 - m - 21\left( {2 + m} \right)} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\\left( {2 - m} \right)\left( { - 40 - 22m} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\ - \dfrac{{20}}{{11}} \le m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{{20}}{{11}} \le m < 2\end{array}\)

Kết hợp với \(m = 2\) ta được \( - \dfrac{{20}}{{11}} \le m \le 2\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.