Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,x = b\) là : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(x \ne  - 1\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm :

\({x^2} - \dfrac{{2x}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} + {x^2} - 2x}}{{x + 1}} = 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x =  - 2 \notin \left[ {0;1} \right]\end{array} \right.\)

Do đó

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - \dfrac{{2x}}{{x + 1}}} \right|dx}  = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - \dfrac{{2x}}{{x + 1}}} \right)dx} } \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  - \int\limits_0^1 {\dfrac{{2x}}{{x + 1}}dx} } \right| = \left| {\left. {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {2 - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right)dx} } \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\dfrac{1}{3} - \left. {\left( {2x - 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1} \right| = \left| {\dfrac{1}{3} - \left( {2 - 2\ln 2} \right)} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {2\ln 2 - \dfrac{5}{3}} \right|\end{array}\)

Chọn A.