Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \max f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

- Sử dụng kết quả: $- \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \le a\sin x + b\cos x \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}$.

- Giải bất phương trình chứa căn: $\sqrt A  \le B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A \le {B^2}\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) = m\left( {2020 + x - 2\cos x} \right) + \sin x - x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 2m\sin x + \cos x + m - 1\end{array}$

Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $f'\left( x \right) \le 0,\,\forall x$ (bằng 0 tại hữu hạn điểm) (*)

Ta có:

$\begin{array}{l} - \sqrt {4{m^2} + 1}  \le 2m\sin x + \cos x \le \sqrt {4{m^2} + 1} \\ \Leftrightarrow  - \sqrt {4{m^2} + 1}  + m - 1 \le 2m\sin x + \cos x + m - 1 \le \sqrt {4{m^2} + 1}  + m - 1\end{array}$

Khi đó: (*) tương đương: $\max f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {4{m^2} + 1}  + m - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4{m^2} + 1}  \le 1 - m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\4{m^2} + 1 \le 1 - 2m + {m^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\3{m^2} + 2m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\ - \dfrac{2}{3} \le m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{2}{3} \le m \le 0\end{array}$

Mà $m$ là số nguyên $\Rightarrow m = 0$.

Vậy có 1 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Chọn C.