Phương pháp giải:

- Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông $AHB$ tính $BH$.

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ tính $BC$: $A{B^2} = BH.BC$.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ như sau:

Theo bài ra ta có:  $AD = 10m,\,\,\,CD = 1,5m$, góc “nâng” $\angle BCH = {31^0}$ (với $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AB$).

Vì $ADCH$ là hình chữ nhật nên $CH = AD = 10m$, $AH = CD = 1,5m$.

Xét tam giác vuông $BCH$ có: $BH = CH.\tan {31^0} = 10.\tan {31^0}\,\,\left( m \right)$.

Vậy chiều cao cột cờ là $AB = AH + BH = 1,5 + 10.tan{31^0} \approx 7,5\,\,\left( m \right)$.

Chọn C.