Phương pháp giải:

- Đánh giá, chặn khoảng giá trị của biểu thức $A.$

- Tìm các giá trị nguyên của $A$ trong khoảng hoặc đoạn bị chặn, từ đó tìm $x$ và đối chiếu điều kiện.

Lời giải chi tiết:

Với $x \ge 0$, ta có: $A = \dfrac{{4\sqrt x  + 16}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 8}}{{\sqrt x  + 2}} = 4 + \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}}$.

Vì $\sqrt x  + 2 \ge 2$ nên $\dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} \le 4$ $\Rightarrow A = 4 + \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} \le 8$.

Lại có $\dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} > 0$ nên $A = 4 + \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} > 4$.

$\Rightarrow 4 < A \le 8$.

Mà $A$ nhận giá trị nguyên $\Rightarrow A \in \left\{ {5;6;7;8} \right\}$ $\Rightarrow \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Vậy có $4$ giá trị của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên.

Chọn B.