Phương pháp giải:

- Xác định các phần hình phẳng gạch chéo được giới hạn bởi các đường nào.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đường thẳng \(y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^4} - {x^2} - \dfrac{5}{2}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \(x =  - 1,\,\,x = 2\).

Do đó phần hình phẳng gạch chéo được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^4} - {x^2} - \dfrac{5}{2}\), \(y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}\), đường thẳng \(x =  - 1\), \(x = 2\), và trong khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\), đường thẳng \(y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}\) luôn nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^4} - {x^2} - \dfrac{5}{2}\). Do đó ta có: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {\dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}{x^4} + {x^2} + \dfrac{5}{2}} \right)dx}  = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - \dfrac{1}{2}{x^4} + {x^2} + \dfrac{3}{2}x + 1} \right)} \).

Chọn A.