Phương pháp giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$

Ta có: $\dfrac{{GD}}{{BD}} = \dfrac{{d\left( {G;\,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow d\left( {G;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {B;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)$  

Mà $AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)$ $\Rightarrow d\left( {B;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)$

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$

Ta có: $\dfrac{{GD}}{{BD}} = \dfrac{{d\left( {G;\,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {B;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow d\left( {G;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {B;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)$  

Mà $AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)$ $\Rightarrow d\left( {B;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$

Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right),$ dựng $AH \bot SD$ $\Rightarrow CD \bot AH$

$\Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = AH$

Áp dụng hệ thức lượng trong $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có:

$AH = \dfrac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {a^2}} }}$ $= \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {B;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\\ \Rightarrow d\left( {G;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {B;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{9}.\end{array}$

Chọn D.