Phương pháp giải:

Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ $\Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).$

Qua $C$ dựng đường thẳng $d$ song song với $BM$ cắt $AB$ tại $D.$

$\Rightarrow BM//\left( {SCD} \right)$  $\Rightarrow d\left( {BM;\,\,SC} \right) = d\left( {BM;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {G;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)$

Lời giải chi tiết:

Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ $\Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right).$

Qua $C$ dựng đường thẳng $d$ song song với $BM$ cắt $AB$ tại $D.$

$\Rightarrow BM//\left( {SCD} \right)$  $\Rightarrow d\left( {BM;\,\,SC} \right) = d\left( {BM;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {G;\,\,\left( {SCD} \right)} \right)$

Ta có: $CD//BM \Rightarrow CD \bot AC.$

Từ $G$ kẻ $GH \bot CD = \left\{ H \right\}$

$\Rightarrow MCHG$ là hình chữ nhật. (dhnb)

$\Rightarrow GH = MC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Trong mặt phẳng $\left( {SGH} \right),$ kẻ $GK \bot SH.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot GH\\CD \bot SG\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SGH} \right)$ $\Rightarrow CD \bot GK$

$\begin{array}{l} \Rightarrow GK \bot \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow d\left( {BM,\,\,SC} \right) = d\left( {G;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = GK\end{array}$

Ta có: $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt 3$ $\Rightarrow BM = \dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a}}{2}$

$\Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}a = a.$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta SBG$ vuông tại $G$ ta có:

$SG = \sqrt {S{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 .$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta SGH$ vuông tại $G$ có đường cao $GK$ ta có:

$GK = \dfrac{{SG.GH}}{{\sqrt {S{G^2} + G{H^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.$

Chọn A.