Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SB\) và hình chiếu vuông góc của \(SB\) trên \(\left( {ABCD} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

\( \Rightarrow OB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) trên \(\left( {ABCD} \right).\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SB,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB,\,\,OB} \right) = \angle SBO\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\begin{array}{l}BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}}  = 2a\sqrt 2 \\ \Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}BD = a\sqrt 2 .\end{array}\)

Xét \(\Delta SBO\) vuông tại \(O\) ta có: \(\cos SBO = \dfrac{{BO}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \angle SBO = {60^0}.\) 

Vậy \(\angle \left( {SB;\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = {60^0}.\)

Chọn C.