Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là góc giữa $SB$ và hình chiếu vuông góc của $SB$ trên $\left( {ABCD} \right).$

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$

$\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).$

$\Rightarrow OB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ trên $\left( {ABCD} \right).$

$\Rightarrow \angle \left( {SB,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB,\,\,OB} \right) = \angle SBO$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABD$ vuông tại $A$ ta có:

$\begin{array}{l}BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {4{a^2} + 4{a^2}}  = 2a\sqrt 2 \\ \Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}BD = a\sqrt 2 .\end{array}$

Xét $\Delta SBO$ vuông tại $O$ ta có: $\cos SBO = \dfrac{{BO}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{2a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow \angle SBO = {60^0}.$ 

Vậy $\angle \left( {SB;\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = {60^0}.$

Chọn C.