Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) góc giữa \(SA\) và hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên \(\left( {ABCD} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Ta có \(SABCD\) là hình chóp tứ giác đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

\( \Rightarrow OA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SA,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA,\,\,OA} \right) = \angle SAO\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = 2a\)

\( \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = a.\)

Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(O\) ta có: \(\cos \angle SAO = \dfrac{{OA}}{{SA}} = \dfrac{a}{{2a}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \angle SAO = {60^0}.\)

Chọn C.